MÃ©thodes numÃ©riques en finance

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6 OPTIONS ET ARBRES BINOMIAUX 64 Maillage adaptatif (intense près du strike) Maillage adaptatif (intense près de la barrière) −4 −2 0 2 4 −4 −2 0 2 4 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 Figure 37: Deux arbres adaptatifs, pour une option de type all-or-nothing à gauche, ou à barrière à droite. 6.23 Une application simple des arbres adaptatifs Considérons le cas d’un call européen (classique) très en dehors de la monnaie, S 0 = 100 et K = 150, voire K = 200. La Figure suivante montre l’évolution du prix du call pour des options en dehors de la monnaie (les ordonnées sont cohérentes, au sens où elles représentent le vrai prix du call ±1%). Plus le strike est éloigné de la valeur du sous-jacent, plus l’algorithme est lent à converger. Aussi, les arbres adaptatifs sont éventuellement une solution, en intensifiant le maillage pour des prix proches du strike. Pour mettre en oeuvre simplement l’arbre adaptatif, on génère un premier arbre grossier à n branches. On cherche alors la date iT/n à laquelle le prix maximum du sous-jacent (S 0 u i ) dépasse le strike. A partir de ce point, on génère un arbre pour valoriser l’option valant S 0 u i à la date initiale, de strike K et de maturité T − iT/n. On génère alors un arbre plus fin, à m branches. De manière générale, on peut générer plusieurs arbres plus fins afin de mieux valoriser le prix des options à une date intermédiaire (Figure 39). En particulier, pour la valorisation du call très en dehors de la monnaie, on a intérêt à intensifier le maillage pour les valeurs élevées. En effet, pour les valeurs faibles du sous-jacent, le prix de l’option est nul. Algorithmiquement, on génère les arbres à n périodes, pour le sous-jacent et le prix de l’option. On calcule alors de prix de l’option de manière récursive, et arrivé à la date i (obtenu en résolvant S 0 u i = K, soit i = log(K/S 0 )/ log(u)), on subtitue à la valeur de l’option à un noeud de l’arbre, le prix d’une option dont la valeur initiale est S 0 u i , de strike K et de maturité T − iT/n, par arbre binomial (Figure 40). Parmi les arbres adaptatifs on compte aussi les arbres épais. Formellement, le processus de prix du sous-jacent est une chaîne de Markov ((X t ) t∈{t0 ,t 1 ,...,t n }) qui évolue sur un arbre “classique” T . Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance
6 OPTIONS ET ARBRES BINOMIAUX 65 Prix d’un call en dehors de la monnaie (s=100, K=150) Prix d’un call en dehors de la monnaie (s=100, K=200) 4.80 4.82 4.84 4.86 4.88 1.230 1.235 1.240 1.245 1.250 0 100 200 300 400 0 100 200 300 400 Figure 38: Valorisation d’un call, à la monnaie, et très en dehors de la monnaie. Constitution des deux arbres imbriqués Constitution des plusieurs arbres imbriqués −20 −10 0 10 20 −20 −10 0 10 20 0 5 10 15 20 0 5 10 15 20 Figure 39: Valorisation d’un call, à la monnaie, et très en dehors de la monnaie. Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance
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