MÃ©thodes numÃ©riques en finance

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12 AMÉLIORER LA PRÉCISION DES ESTIMATIONS 164 Call européen avec volatilité stochastique Call européen avec volatilité stochastique Impact du paramètre b 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 Impact du paramètre delta 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 0 500 1000 1500 Nombre de simulations 0 500 1000 1500 Nombre de simulations Figure 112: Valorisation d’un call européen à volatilité stochastique, avec plusieurs b à gauche, et plusieurs δ à droite. 12 Améliorer la précision des estimations Plusieurs méthodes permettent d’améliorer la précision, ou la vitesse de convergence, • utiliser des propriétés de calculs stochastique ou de probabilités, • utiliser des méthodes de réduction de variance, • utiliser des méthodes de lissage. 12.1 Méthodes de réduction de variance Les méthodes de réduction de variance peuvent être très utilise. Considérons un call très en dehors de la monnaie, i.e. S 0
12 AMÉLIORER LA PRÉCISION DES ESTIMATIONS 165 par des méthodes classques de Monte Carlo, l’idée est de simuler une autre variable aléatoire (Z) telle que P (φ(Z) > 0) ne soit plus proche de 0, mais éventuellement proche de 1/2. On va ainsi simuler une loi Z ∼ N (µ, 1) où µ vérifie soit S 0 exp m = 1 σ √ T La valeur de l’option sera alors E [ σ √ T x + ( f(Z) exp (r − σ2 2 ( log K S 0 − ) T ] = K, ) ) (r − σ2 T . 2 (−mZ + m2 Cette technique est appelée “importance sampling”. 2 )) . Importance sampling pour le prix d’un call européen Importance sampling pour le prix d’un call européen Ecart−type du prix d’un call européen 0 5 10 15 Ecart−type du prix d’un call européen 0 5 10 15 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 Valeur du drift −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 Valeur du drift Figure 113: Importance sampling, volatilité de l’estimateur en fonction de la valeur du drift, avec différentes volatilité, ou différents strikes. 12.2 Les méthodes de stratification Le plus simple est de présenter un exemple simple. Considérons un vecteur aléatoire gaussien X de dimension d, avec X ∼ N (0, I). Le vecteur X peut se réécrire X = (s ′ X)s + Y , où s est un vecteur unitaire de R d et Y = X − (s ′ X)s est un vecteur gaussien centré, de matrice de variance-covariance Σ = I − P s où P s est la matrice de projection orthogonale sur s. s étant un vecteur unitaire, notons que s ′ X est une variable N (0, 1). Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance
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4 QUELQUES MOTS SUR L’ESTIMATION
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7 VALORISATION EN TEMPS CONTINU 69
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