MÃ©thodes numÃ©riques en finance

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11 MÉTHODES DE SIMULATIONS DANS LE MODÈLE DE BLACK & SCHOLES (1973) 150 Densité d’un processus d’Ornstein−Uhlenbeck Processus d’Ornstein−Uhlenbeck 0.00 0.05 0.10 0 2 4 6 8 10 Temps Figure 91: Processus d’Ornstein-Uhlenbeck. 11.7 Simulation d’un processus à saut, le processus de Poisson Un processus de Poisson (N t ) t≥0 d’intensité λ est un processus de comptage, tel que • N 0 = 0, • (N t ) t≥0 est à accroissements indépendants, • N t+h − N t suit un loi de Poisson de paramètre λh Si on définie les durées entre les sauts, (X n ) n∈N , et la date d’arrivée du nième saut T n = X 1 + ... + X n , on peut montrer simplement que les durées entre sauts (X n ) sont indépendantes, et suivent des loi exponentielle de paramètre 1/λ. Aussi, T n suit un loi Gamma de paramètres n et 1/λ. En changeant la hauteur des sauts, et en la prenant aléatoire, on peut ainsi simuler un processus de Poisson composé. En en combinant à ce processus à saut une diffusion brownienne, on peut alors simuler un processus de Lévy. 11.8 Simulation pour options path-dependent, première approche Considérons le cas d’une option à barrière up and out. Goldman, M.B., Sosin, H.B. & Gatto, M.A. (1979). Path Dependent Options: “Buy at the Low, Sell at the High” . The Journal of Finance, 34, 1111-1127. Un second example où il est possible de visualiser l’impact de la méthode retenue pour discrétiser le processus est celui d’options lookback. En particulier (Goldman, Sosin & Gatto (1979)) l’algorithme suivant permet de valoriser un call européen, dont le payoff Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance
11 MÉTHODES DE SIMULATIONS DANS LE MODÈLE DE BLACK & SCHOLES (1973) 151 Simulation d’un processus de Poisson Simulation d’un processus de Poisson composé Simulation d’un processus de processus de Lévy 0 10 20 30 40 50 0 2 4 6 0 2 4 6 8 0 5 10 15 0 5 10 15 0 5 10 15 Figure 92: Simulations de processus à sauts. Prix de l’option à barrière (10 000 trajectoires) Prix de l’option sur maximum (10 000 trajectoires) 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 12 14 16 18 2 4 6 8 10 Nombre de pas de temps (T/2^n) 2 4 6 8 10 Nombre de pas de temps (T/2^n) Figure 93: Calcul du prix d’une option up-and-out, et fixed strike lookback option) Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance
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4 QUELQUES MOTS SUR L’ESTIMATION
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