MÃ©thodes numÃ©riques en finance

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12 AMÉLIORER LA PRÉCISION DES ESTIMATIONS 172 12.5 Utilisation de variables de contrôle Si l’on considère un estimateur ˆθ du paramètre θ que l’on cherche à estimer, l’idée est ici de poser ˆθ c = ˆθ + κ[Z − E(Z)], où Z est simulable, et dont on connaît l’espérance. On notera que et que E(ˆθ c ) = E(ˆθ), V ar(ˆθ c ) = V ar(ˆθ) + κ 2 V ar(Z) + 2κCov(ˆθ, Z). On choisit alors la constante κ de façon à minimiser la variance de cet estimateur contrôlé, soit κ ∗ = − cov(ˆθ, Z) V ar(Z) , et donc, par substitution V ar(ˆθ ∗ c) = V ar(ˆθ) − cov(ˆθ, Z) 2 V ar(Z) . Encore une fois, pour que Z soit une “vraie” variable de contrôle, il convient d’avoir une variable non-indépendante de ˆθ. Exemple 95. Considérons un call asiatique, basé sur le maximum { max 0, 1 T ∫ T 0 } S t dt − K . Un algorithme classique de Monte Carlo est basé sur la simulation de n trajectoires (S t ) t∈[0,T ] , discrétisées, puis de poser C i = max { 0, 1 m } m∑ S iT/m − K , i = 1, ..., n, i=1 puis de prendre la moyenne. Parmi les variables de contrôle, on pourra retenir • Z 1 = S T , la valeur terminale de la trajectoire du sous-jacent, • Z 2 = e −rT max{0, S T − K}, le payoff d’un call européen (actualisé), • Z 3 = 1 m∑ S iT/m , la valeur moyenne du sous-jacent sur la période [0, T ]. m i=1 Call européen - simulations (antithétiques avec contrôle) X=rnorm(Nsim) Ssim=s*exp(T*(r-0.5*sigma 2 ) + sigma ∗ sqrt(T ) ∗ X) S.ant=s*exp(T*(r-0.5*sigma 2 ) − sigma ∗ sqrt(T ) ∗ X) C.ant=0.5*exp(-r*T)*(pmax(Ssim-K,0)+pmax(S.ant-K,0)) Z
12 AMÉLIORER LA PRÉCISION DES ESTIMATIONS 173 Prix d’un call (et intervalle de confiance), Monte Carlo classique Prix d’un call (et intervalle de confiance), Monte Carlo et variables antithériques Prix du call européen 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0 11.5 12.0 Prix du call européen 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0 11.5 12.0 0 5000 10000 15000 20000 25000 nombre de simulations 0 5000 10000 15000 20000 25000 nombre de simulations Figure 116: Monte Carlo classique et variables antithétiques. 12.6 Comparaison des différents méthodes de réduction de variance En faisant 25, 000 simulations Gaussiennes indépendantes, on obtient les résultats présentés dans le tableau ci-dessous, vrai prix (Black & Scholes) 10.45058 Monte Carlo classique 10.45471 ± 0.18259 Monte Carlo avec variables antithétiques 10.49112 ± 0.09145 Monte Carlo avec variable de contrôle (prix du sous-jacent) 10.48373 ± 0.06987 corrélation 0.92387 Monte Carlo avec variable de contrôle et antithétiques 10.45088 ± 0.02378 corrélation 0.96557 Monte Carlo et importance sampling (drift −0.200) 10.23757 ± 0.92585 Monte Carlo et importance sampling (drift +0.200) 10.42974 ± 0.07566 Monte Carlo et importance sampling (drift +0.275) 10.41608 ± 0.05959 Les différentes vitesses de convergence peuvent être visualisés sur les Figures 116 à 119. 12.7 Méthodes de quasi-Monte Carlo La base des méthodes de Monte Carlo était le Lemme 81 consistant à représenter X comme une fonction de variables indépendantes, uniformément distribuées sur [0, 1]. On simulait alors des variables U i pour estimer E [h (X)] = E [h (ψ (U 1 , ..., U n ))]. Dans le cas des méthodes de quasi-Monte Carlo, on cherche alors des suites déterministes u 1 , ..., u n telles que 1 n∑ h (u i ) → E [h (U)] quand n → ∞, (30) n i=1 avec une vitesse de convergence plus rapide que 1/ √ n. Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance
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1 Méthodes numériques en finance
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4 QUELQUES MOTS SUR L’ESTIMATION
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7 VALORISATION EN TEMPS CONTINU 69
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