Méthodes numériques en finance

6 OPTIONS ET ARBRES BINOMIAUX 41
6 Options et arbres binomiaux
6.1 Valorisation et arbre à une période
On considère un call, sur un action de prix S 0 en t = 0, dont la valeur est C. L’option
arrive à maturité en t = T , et le sous-jacent que peut évoluer que de deux façons,
• augmenter pour atteindre S 0 · u,
• baisser pour atteindre S 0 · d,
où d < 1 < u. Soit C u le payoff de l’option si le cours de l’action atteint S 0 · u, et C d le
payoff de l’option s’il atteint S 0 · d.
Considérons le portefeuille constitué de α actions, et β obligations (ou actifs sans
risques), qui réplique la valeur de l’option. Si le cours de l’action monte,
et si le cours du sous-jacent baisse,
αS 0 u + β(1 + r) = C u ,
αS 0 d + β(1 + r) = C d .
La théorie financière nous garantie l’existence et l’unicité (sous certaines hypothèses)
d’un tel portefeuille dit de réplication, et effectivement, ce système admet une et une
seule solution
α =
C u − C d
S 0 u − S 0 d et β = 1 (
C u − S 0 u C )
u − C d
.
1 + r
S 0 u − S 0 d
On a alors effectivement réussi à répliquer le prix de l’option, et on note qu’en t = 0, la
valeur de l’option est
αS 0 + β = 1 ( )
1 + r − d
1 + r u − d C u − (1 + r)
u + C d ,
u − d
qui peut s’écrire
C 0 = 1
1 + r (p∗ C u + (1 − p ∗ )C d ) , où p ∗ = 1 + r − d
u − d .
Si 1+r < d, alors il y aurait une opportunité d’arbitrage, l’actif sans risque présentant
un rendement plus faible que l’action, quel que soit l’état de la nature. De même, si
u < 1 + r, il n’y aurait aucun intérêt à acheter l’action. Aussi, par des arguments
d’absence d’opportunité d’arbitrage,
d < 1 + r < u.
Cette dernière condition implique en particulier que
p ∗ = 1 + r − d
u − d
∈]0, 1[,
aussi, p ∗ peut être vu comme une probabilité. La valeur de l’option est alors l’espérance
de la valeur future, actualisée au taux sans risque. p ∗ est alors la probabilité risque-neutre
de hausse du sous-jacent.
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance