Méthodes numériques en finance

14 OPTIONS AMÉRICAINES 207
14.17 Utilisation des méthodes de simulations
La principale difficulté est ici qu’il faut calculer E Q(·|Fn ) à une date intermédiaire t n pour
compte tenu du prix à la date t n+1 . Or parmi toutes les trajectoire, une seule passe par
x n à la date t n . L’idée est ici d’approcher l’espérance par la moyenne arithmérique sur
toutes les trajectoires simulées passant près de x n à la date t n .
14.18 Algorithme de Tilley (1993)
Etape 0 Générer n trajectoires pour le prix du sous-jacent, k = 1, ..., n
Etape 1 A une date t ∈ [0, T ] réordonner les prix S t (1),..., S t (n) sur les n trajectoires,
dans le sens décroissant pour un put et dans le sens croissant pour un call. On regroupe
les trajectoires en m sous-groupes de n/m trajectoires. On note B (t, k) le groupe auquel
appartient la kème trajectoire à la date k (pour la trajectoire k qui atteignait la plus
grande valeur en t, B (t, k) = 1 pour un put et k = 1, et B (t, k) = m pour un call et
k = n).
Etape 2 Pour chaque trajectoire k, caller la valeur intrinsèque du prix de l’option
{ (St (k) − K)
I t (k) =
+
pour un call
(K − S t (k)) +
pour un put
Etape 3 Calculer la valeur de détention de l’option H t (k) sur une période, soit
H t (k) = e −rδ 1 ∑
V t+1 (j)
n/m
j∈B(t,k)
où V t (j) sera définie à l’étape 6, et où V T (j) = I T (j) pour tout j.
Etape 4 On définie la variable indicatrice d’exercice ou de conservation de l’option
{ 1 si It (k) > H
X t (k) =
t (k) on exerce alors l’option
0 si I t (k) ≤ H t (k) on garde alors l’option (au moins une période)
Etape 5 On note kt
∗ les trajectoires pour lesquelles on a intérêt à exercer l’option
Etape 6 Pour chaque trajectoire, on définie la valeur actuelle comme
V t (k) =
{
It (k) si k ≥ k ∗ t
H t (k) si k < k ∗ t
Etape 7 On pose t = t − δ, et on retourne à l’étape 1.
Etape 8 Pour obtenir finallement le prix de l’option à la date t = 0, on définit la
variable indicatrice d’exercice
Le prix de l’option est alors
{ 1 si k ≥ k
∗
Y t (k) = t
0 si k < kt
∗
{ 1 si Yt (k) = 1 et Y
Z t (k) =
s (k) = 0 pour s < t
0 sinon
1
n
n∑
k=1
( ∑
t
Z t (k) e −rZt(k)t I t (k)
)
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance