Méthodes numériques en finance

11 MÉTHODES DE SIMULATIONS DANS LE MODÈLE DE BLACK & SCHOLES (1973) 147
c’est à dire, en combinant les deux termes que
R ti ,t i−1
∼ 1 2 b(X t i−1
)b ′ (X ti−1 )[(∆ i W ) 2 − ∆ i ] + R ti ,t i−1
.
Sous des conditions de régularités des fonctions a(·) et b(·), il est alors possible de
montrer que le reste R ti ,t i−1
est néglieable par rapport à l’expression de gauche.
On a alors le schéma itératif suivant, en notant ∆ i = t i − t i−1 et ∆ i W = W ti − W ti−1 ,
• X (n)
0 = X 0 ,
• ...
• X (n)
t i
• ...
•
= X (n)
t i−1
+ a(X (n)
t i−1
) · ∆ i + b(X (n)
t i−1
) · ∆ i W + 1 2 b(X t i−1
)b ′ (X ti−1 )[(∆ i W ) 2 − ∆ i ],
Proposition 88. L’approximation de Milstein à pas constant converge fortement à l’ordre
γ = 1.
A partir de là, on en déduit l’algorithme suivant pour simuler le prix d’une option,
1. Pour k = 1, ..., N, on simule S T , solution de dS t = rS t dt + σS t dW t , i.e.
] )
S t = S 0 exp
([µ − σ2
t + σW t
2
(
soit S(k) ⇐ exp S 0 exp
] ([µ − σ2
t + σ √ ))
tN , où N ∼ N (0, 1),
2
2. Pour chaque scénario k on détermine le payoff, V (S T , T )(k) ← V (S(k), T ),
3. On détermine alors l’espérance (risque neutre) associée
Ê(V (S T , T )) ⇐ 1 N∑
V (S T , T )(k)
N
k=1
4. Enfin, la valeur actualisée ˆV ⇐ e −rT Ê(V (S T , T )) est le prix en 0 de l’option.
11.6 Simulation du mouvement brownien...
Simulation processus brownien géométrique - Euler
N.euler=1000; dt.euler=T/N.euler
dW=sqrt(dt.euler)*rnorm(1)
S.euler=c(S.euler,S.euler+dt.euler*S.euler*r + sigma*S.euler*dW)
S.euler=S0; W=0
}
for(j in 1:N.euler) {
Un autre code est possible en utilisant la discrétisation de Milstein.
Simulation processus brownien géométrique - Milstein
N.milstein=1000; dt.milstein=T/N.milstein
S.milstein=S0; W=0
for(j in 1:N.milstein) {
dW=sqrt(dt.milstein)*rnorm(1)
S.milstein