Méthodes numériques en finance

10 RÉSOLUTION DES EDP ET DIFFÉRENCES FINIES 115
Résolution de l’équation de Black & Scholes
Résolution de l’équation de Black & Scholes
0 10 20 30 40
0 20 40 60 80
Résolution de l’équation de Black & Scholes
Résolution de l’équation de Black & Scholes
0 10 20 30 40 50 60 70
0 20 40 60 80 100 120
Figure 59: Résolution directe de l’équation au dérivées partielles.
avec la condition finale donnée par g(T, x) = h(x) = max{0, x − K}, dans le cas d’un call.
Pour les calculs, on rajoute la condition limite g(·, 0) = 0 et g(·, a) = a − K exp(r[· − T ]).
Les graphiques ci-dessous montrent la convergence du prix en fonction du pas de temps
en espace, à λ fixé. Sont représentées les deux valeurs du prix obtenues pour des valeurs
de S les plus proches de S 0 , et le trait au centre correspond à une interpolation linéaire
entre les deux valeurs les plus proches.
10.14 Différence entre les schémas forward, backward et centrés
Considérons le cas limite σ = 0, de telle sorte que l’équation aux dérivées partielles
devient, où t désigne le temps avant échéance,
∂g(x, t)
∂t
Un schéma de discrétisation centré donne
∂g(x, t)
= rx − rg(x, t).
∂x
g i,j+1 = [1 − r∆t]g i,j − S ir∆t
2h
g i−1,j + S ir∆t
2h
g i+1,j.
Supposons de plus que le payoff (en t = 0) est de la forme suivant
g(S, t = 0) = 1(S ∈ [S k ± h/2]) soit g i,0 = 1(i = k).
En substitutant dans l’équation de récurence, on en déduit que
g k,1 = (1 − r∆t) et g k±1,1 = ∓
(k ± 1)r∆t
.
2
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance