Méthodes numériques en finance

11 MÉTHODES DE SIMULATIONS DANS LE MODÈLE DE BLACK & SCHOLES (1973) 144
Une telle solution est caractérisée par une partition T n de [0, T ],
dont la maille est
T n : {0 = t 0 < t 1 < t 2 < ... < t n−1 < t n = T },
δ n = max
i=1,..,n [t i − t i−1 ].
On évalue alors (X (n)
t ) t∈[0,T ] au point de la partition t i , et une certaine liberté est laissée sur
les intervalles [t i , t i+1 ). On peut alors considérer une valeur constante, ou une interpolation
linaire.
Approximation d’Euler du mouvement Brownien − n = 20
Approximation d’Euler du mouvement Brownien − n = 100
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Figure 85: Schéma d’Euler, function en escaliers, n = 20, et n = 100.
On a alors le schéma itératif suivant, en notant ∆ i = t i − t i−1 et ∆ i W = W ti − W ti−1 ,
• X (n)
0 = X 0 ,
• X (n)
t 1
• X (n)
t 2
• ...
• X (n)
t i
• ...
• X (n)
T
= X (n)
0 + a(X (n)
0 ) · ∆ 1 + b(X (n)
0 ) · ∆ 1 W ,
= X (n)
t 1
+ a(X (n)
t 1
) · ∆ 2 + b(X (n)
t 1
) · ∆ 2 W ,
= X (n)
t i−1
+ a(X (n)
t i−1
) · ∆ i + b(X (n)
t i−1
) · ∆ i W ,
= X (n)
t n−1
+ a(X (n)
t n−1
) · ∆ n + b(X (n)
t n−1
) · ∆ n W .
Le plus simple est de prendre une partition de maille constante, δ n = T/n.
Afin de quantifier la qualité de l’ajustement, on peut introduire
e s (δ n ) = E|X T (ω) − X (n)
T
(ω)|.
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance