Méthodes numériques en finance

14 OPTIONS AMÉRICAINES 197
La solution s’obtient par exemple à l’aide de l’algorithme de Newton-Raphson, en notant
que la pente du terme de gauche en S n s’écrit, en notant φ la densité de la loi N (0, 1)
g ′ (S n ) = ∂g (S (
n, K, T )
= e (n−r)T Φ (d (S n )) 1 − 1 ) (
)
+ 1 − e(b−r)T φ (d (S n )) 1
∂S n q
σ √ T q
On construit alors la suite des (S n ) à partir d’une valeur S 0 (qui peut être S), sous la
forme
S n+1 = K + g (S n, K, T ) − S n g ′ (S n )
(1 − g ′ (S n ))
et de stopper l’algorithme dès lors que
pour un ε suffisement petit.
|(S n − K) − g (S n )| ≤ ε,
14.8 Méthode d’approximation de Barone, Adesi & Whaley
(put)
Le prix d’un put s’écrit
{
PBS (S, K, T ) + A (S/S
C (S, K, T ) =
∗ ) q si S > S ∗
K − S
si S ≤ S ∗
où C BS (S, K, T ) est le prix du call européen (donnée par la formule de Black & Scholes
(1973)), où
A = − S∗
q
(
1 − e (b−r)T Φ (−d (S ∗ )) ) où d (s) = log (s/K) + (b − σ2 /2) T
σ √ T
et où
√
q = − (2b/σ2 − 1) − (2b/σ 2 − 1) 2 + 8r (1 − e −rT ) −1 /σ 2
2
S ∗ est la "valeur critique du call", et elle est obtenue en notant qu’elle vérifie l’équation
P BS (S ∗ , K, T ) − S∗ (
1 − e (b−r)T Φ (d (S ∗ )) )
= K − S ∗ .
q
} {{ }
g(S ∗ ,K,T )
La solution s’obtient par exemple à l’aide de l’algorithme de Newton-Raphson, en notant
que la pente du terme de gauche en S n s’écrit, en notant φ la densité de la loi N (0, 1)
g ′ (S n ) = ∂g (S (
n, K, T )
= −e (n−r)T Φ (−d (S n )) 1 − 1 ) (
)
+ 1 + e(b−r)T φ (−d (S n )) 1
∂S n q
σ √ T q
On construit alors la suite des (S n ) à partir d’une valeur S 0 (qui peut être S), sous la
forme
S n+1 = K − g (S n, K, T ) + S n g ′ (S n )
(1 − g ′ (S n ))
et de stopper l’algorithme dès lors que
pour un ε suffisement petit.
|(K − S n ) − g (S n )| ≤ ε,
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance