Méthodes numériques en finance

8 APPROCHE PAR LES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES 80
Si g est une fonction deux fois continument dérivable en espace, une fois en temps, [0, T ]×R×R,
de la forme g(z) = γ(t, x) = γ(t, x, y). La formule d’Ito donne
dg(z t ) =
3∑
i=1
∂g(z t )
∂x i
dX i t + 1 2
3∑
i,j=1
∂ 2 g(z t )
∂x i ∂x j
d < X i , X j > t .
Notons que sur la somme des 9 termes de la somme, seul le terme basé sur la dérivée seconde en
la seconde composante (en x) est non nul. Aussi,
dg(z t ) = ∂g(z t)
dt + ∂g(z t)
dS t + ∂g(z t)
S t dt + 1 ∂t ∂S t ∂I t 2
∂ 2 g(z t )
∂St
2 dt,
qui peut également s’écrire, en notant non plus en x, y mais en S t , I t
( ∂g(zt )
dg(z t ) = + ∂g(z t)
S t + 1 ∂t ∂I t 2 σ2 St
2 ∂ 2 )
g(z t )
∂St
2 dS t dt + ∂g(z t)
dS t .
∂D t
Aussi, on en déduit l’équation aux dérivées partielles suivie par g, à savoir
∂g
∂t + 1 2 σ2 S 2 ∂2 g ∂g
− rg + rS
∂S2 ∂S = 0,
avec une condition de bord de la forme C = g(T, S T , I T ) = max{S T − I T /T, 0}. Par rapport à
l’équation obtenue dans le cas d’un call européen, seul un terme en ∂g/∂I doit être rajouté.
En posant R t = I t /S t , et g(t, S t , I t ) = h(t, R t ), on notera que
avec pour le terme de dérivée seconde
∂g
∂t = S ∂h
∂t , ∂g
∂I = ∂h
∂I
∂ 2 g
∂S 2 = R2 ∂ 2 h
S ∂R 2 .
et
∂g
∂S = h − R ∂h
∂R ,
En substituant tous ces termes dans l’équation aux dérivées partielles précédente, on obtient
∂h(t, x)
∂t
+ 1 2 σ2 x 2 ∂2 h(t, x) ∂h(t, x)
∂x 2 + (1 − rx) = 0,
∂x
avec comme condition de bord h(T, x) = max{1 − x/T, 0}.
( ∫ 1 T
)
Une autre approche est la suivante: considérons une option de payoff S t dt − K .
T 0
+
Définissons le processus (X t ) t∈[0,T ] défini par X 0 = S 0 − K et dX t = q t dS t , où q t = 1 − t/T .
Alors à la date terminale T ,
∫ T
∫ T
(
X T = q t dS t + X 0 = 1 − t )
dS t + S 0 − K = 1 ∫ T
S t dt − K.
T
T
0
0
Le cas d’un
(
strike
∫
flottant peut être dérivée de ce cas, où le stike était fixe. Pour une option
1
T
)
de payoff S t dt − KS T , o définie le processus (X t )
T
t∈[0,T ] par X 0 = S 0 (1 − K) et
0
dX t = q t dS t , où q t = 1 − K − t/T . Alors à la date terminale T ,
+
0
X T =
∫ T
0
q t dS t + X 0 = 1 T
∫ T
0
S t dt − KS T .
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance