Méthodes numériques en finance

5 LES NOTIONS DE TAUX D’INTÉRÊT 33
• Prix de différence de call digitaux avec smile de volatilité: fonction en escalier
On considère une option payant 1 si S T ∈ [K 1 , K 2 ] et 0 sinon, i.e. 1(S T ∈ [K 1 , K 2 ]).
Le portefeuille qui permet de répliquer cette option est obtenu avec une position longue
sur le call de stike K 1 , et courte sur le call de strike K 2 . Aussi, en utilisant la relation
précédante
Π ∗ = Π sans smile (K 1 , σ(T, K 1 )) − Π sans smile (K 2 , σ(T, K 2 ))
+ Véga B&S (T, K 2 ) ∂σ(T, K 2)
− Véga
∂K B&S (T, K 1 ) ∂σ(T, K 1)
,
2 ∂K 1
soit, en posant K 2 = K 1 + ∆K, la variation du prix du à cette différence ∆K, notée ∆Π ∗
s’écrit
[ ( ∂
∆Π ∗ (K 1 ) = Véga
∂K B&S (T, K 1 ) ∂σ(T, K )
1)
∂K 1
]
− ∂Πsans smile (K 1 , σ(T, K 1 ))
− ∂Πsans smile (K 1 , σ(T, K 1 )) ∂σ(T, K 1 )
∆K.
∂K 1 ∂σ
∂K 1
• Cas général d’une option européenne: combinaison linéaire de fonctions en escalier
De manière plus générale, en utilisant l’expression précédante, pour une option de
payoff g(S T ), on peut écrire le prix comme
∫ ∞
0
∫ ∞
[ (
)
∂
∂σ(T, x)
Véga
∂x B&S (T, x)
∂x
− ∂Πsans smile (x, σ(T, x))
∂x
0
g(x)∆Π ∗ (x), soit finalement
− ∂Πsans smile (x, σ(T, x))
∂σ
5 Les notions de taux d’intérêt
]
∂σ(T, x)
g(x)dx.
∂x
Rappelons que la structure par terme des taux d’intérêt (ou courbe des taux) est la
fonction qui à une date donnée et pour chaque maturité, indique le niveau du taux d’intérêt
associé.
Notamment, on distingue les courbes de marché et les courbes implicites,
• Les courbes de marché sont construites directement à partir des cotations de marché
d’instruments (obligations ou swaps).
• Les courbes implicites sont elles construites indirectement. On retrouve la courbe
des taux zéro-coupon, les courbes de taux forwards, la courbe des taux forwards
instantanés ou encore la courbe des taux de rendement au pair.
On pourra considérer les différents taux suivants: le taux de rendement à maturité, le
taux de swap, le taux zéro-coupon, le taux forward, le taux forward instantané ou encore
le taux de rendement au pair.
Le taux de rendement à maturité (Yield to Maturity) est associé à un produit de taux
d’intérêt: l’obligation à taux fixe. L’obligation à taux fixe est classiquement cotée en prix
ou en taux. Ce taux est le taux de rendement à maturité de l’obligation.
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance