Méthodes numériques en finance

12 AMÉLIORER LA PRÉCISION DES ESTIMATIONS 189
(k = 2),
⎛
⎜
⎝
1.64 0.28 0.01 0.57
0.28 0.72 −0.031 0.60
0.01 −0.03 0.00 −0.02
0.57 0.60 −0.02 0.58
⎞ ⎛
⎟
⎠ = ⎜
⎝
× ⎜
⎝
0.81 0.55 0.069 0.15
0.36 −0.71 0.15 0.57
−0.01 0.04 −0.95 0.31
0.45 −0.42 −0.26 −0.7408629
⎛
2.09 0.00 0.00 0.00
0.00 0.85 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00
⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎠ ⎝
⎞
⎟
⎠
0.81 0.55 0.069 0.15
0.36 −0.71 0.15 0.57
−0.01 0.04 −0.95 0.31
0.45 −0.42 −0.26 −0.7408
Pour les problèmes de très grande dimension m = 250, Acworth, Broadie &
Glasserman (1998) montre que cette méthode permet d’aller beaucoup plus rapidement.
12.15 Décomposition de trajectoires continues
Plus généralement, pour simuler des processus continus, la représentation de Karhunen-
Loève permet d’accéler la simulation de tels processus (Adler (1990)). Les processus
ainsi simulés seront même infiniment dérivable (alors que la plupart des processus que
l’on cherche à simuler ne sont dérivables nulle part, presque sûrement).
Pour le mouvement brownien sur [0, 1] par exemple, il suffit de noter que
W t L =
∞∑ √
λn ψ n (t)Z n ,
où Z 0 , Z 1 , ... sont des variables N (0, 1) indépendantes, et où
2
λ n = (
(2n + 1)π )2 et ψ n (t) = √ ( )
(2n + 1)πt
2 sin
.
n
n=0
Les valeurs propres (λ n ) sont décroissantes, et une bonne approximation est obtenue avec
seulement les m plus petites (m ∼ 30 suffisant généralement).
Le pont bronwien peut aussi être décomposé par l’expension de Lévy-Ciesielski
(Karlin & Taylor (1975)), en utilisant la base de Haar. Rappelons que H 1 (t)1 sur
[0, 1], H 2 (t) = 1 sur [0, 1/2[ et −1 sur [1/2, 1], et plus généralement,
⎧
⎨ 2 n/2 sur [0, 2 −(n+1) [
H 2 n +1(t) = −2 n/2 sur [2 −(n+1) , 2 −n [
⎩
0 sinon,
et ensuite
H 2 n +j(t) = H 2 n +1
(
t − j − 1 )
2 n
pour j = 1, 2, ..., 2 n − 1.
On construit alors les fontions de Schauder, F n (t) = ∫ t
0 H n(x)dx, et on note que le
Pont Brownien sur [0, 1] peut être représenté sous la forme
Π t L =
∞∑
F n (t)Z n ,
n=0
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance