Méthodes numériques en finance

11 MÉTHODES DE SIMULATIONS DANS LE MODÈLE DE BLACK & SCHOLES (1973) 130
Erreur d’approxmation pour le calcul d’intégrale
∣
∫ i/n
(i−1)/n
h(u)du − 1 n f(i/n) ∣ ∣∣∣∣
≤ 1
2n ‖f ′ 1
‖ ∞
n
où ‖ · ‖ ∞ désigne
la norme-sup sur [0, 1]
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85
En sommant ces petites erreurs, on obtient alors que
∫ 1
n∑
( ) ∣ 1 j ∣∣∣ h(u)du −
∣
n × h ≤ 1
n 2n ‖f ′ ‖ ∞ .
0
j=1
Notons qu’en utilisant la méthode des trapèze (interpolation linéaire), on aurait
améliorer la précision, avec une majoration de la forme
∫ 1
∣ ∣∣∣ ∣ h(u)du − I n ≤ 1
12n ‖f ′′ ‖ 2 ∞ ,
0
et par la méthode de Simpson (interpolation polynomiale - de degré 2)
∫ 1
∣ ∣∣∣ ∣ h(u)du − I n ≤ 1
180n ‖f (4) ‖ 4 ∞ .
0
En dimension ∫ supérieure, on s’intéresse dans un premier temps au calcul d’intégrales de
la forme h(u)du. Dans ce cas, l’idée est toujours la même: discrétiser uniformément
[0,1] d
[0, 1] d et sommer des petits volumes élémentaires.
Dans ce cas, on peut aussi simplement majorer l’erreur. Sur un petit hypercube de
longueur h = 1/k = n −1/d , on majore l’erreur faite par la pyramide de base l’hypercube,
et de hauteur h‖∂ d f‖ ∞ . Aussi, par sommation, on en déduit que
∫
h(u)du − ∑ ( ) d ( 1 j1
× h
∣ [0,1] k k , ..., j ) ∣ d ∣∣∣
≤ nh d h‖∂ d f‖ ∞ = 1 k
n d d ‖∂d f‖ ∞ .
j 1 ,...,j d
Cette méthode est bien entendu loin d’être optimale, mais notons qu’un calcul rapide
nous donne le même ordre de grandeur qui pour le calcul du volume dans l’introduction,
O(n −1/d ).
∫ En fait, la principale difficultée des intégrales ∫ multiples n’est pas le calcul de
h(u)du, mais d’avantage d’intégrales h(u)du où V est un volume plus général
[0,1] d V
qu’un cube en dimension d (le simplexe, une sphère, la boule unité, un tore...). La principale
difficulté sera de paramétrer correctement le volume.
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance