Méthodes numériques en finance

12 AMÉLIORER LA PRÉCISION DES ESTIMATIONS 182
L’erreur commise est alors en O(1/ √ n).
En utilisant une méthode des trapèzes,
Y T = 1 T
∫ T
0
S u du ∼ ∆t
T
m−1
∑
k=0
(
S tk 1 + rh 2 + σ W )
t k+1
− W tk
.
2
Dans le chapitre précédant, nous avions vu les options asiatiques sont un cas particulier
des options vue comme un traded account (Shreve & Vecer (2000)). Nous avions noté
que V (t, S t , X t ) = S t u(t, Z t ), où u vérifie
∂u
∂t + (r − µ)(q t − z) ∂u
∂z + 1 2 (q t − z) 2 σ 2 ∂2 u
∂z = 0, 2
avec la condition de bord u(T, z) = z + , (q t ) étant une stragtégie, i.e. q t = 1 − t/T pour
les options asiatiques à strike fixe.
En appliquant ce résultat (certes, bien au delà du programme que l’on s’était fixé), on
peut montrer que dans le cas du call asiatique, l’équation au dérivée partielle est
∂u
∂t + r(q t − z) ∂u
∂z + 1 2 (q t − z) 2 ∂2 u
∂z = 0 2
avec la condition de bord u(T, z) = z + . La fonction q t dépend alors de ma forme du payoff
(strike flottant ou pas).
Un schéma de discrétisation classique peut alors être utilisé (par exemple un θ-schéma).
En posant q j = q(t j ) = 1 − [nj/T ]/n, et h le pas de discrétisation en espace (en z) on
obtient l’équation suivante
θ ( σ 2 (q j − z i ) 2 − hr(q j − z i ) ) u i−1,j − 2(θσ 2 (q j − z i ) 2 + λ)u i,j
+ θ ( σ 2 (q j − z i ) 2 + hr(q j − z i ) ) u i+1,j
= −(1 − θ) ( σ 2 (q j − z i ) 2 − hr(q j − z i ) ) u i−1,j+1 + 2((1 − θ)σ 2 (q j − z i ) 2 + λ)u i,j+1
− (1 − θ) ( σ 2 (q j − z i ) 2 + hr(q j − z i ) ) u i+1,j+1 ,
où θ ∈ [0, 1] (θ = 0 pour un schéma explicite, θ = 1/2 pour le schéma de Crank Nicolson
et θ = 1 pour le schéma implicite, par exemple), et où λ = h 2 /∆t. Les conditions de
bord sont ici u i,n = (z i ) + (condition en temps), et u 0,j = 0 et u m,j = 2u m−1,j − u m−2,j
(condition en espace, la dernière condition étant une simple interpolation linéaire).
12.10 Options sur maximum
Le payoff s’écrit ici comme une fonction du prix du sous-jacent à maturité S T
et du maximum du prix du payoff jusqu’à maturité, c’est à dire proportionnel à
M T = max{S t , t ∈ [0, T ]}.
• une approche naturelle est de considérer le maximum sur une trajectoire discrétisée,
ˆM T = max{S tk , k = 1, ...., n}.
Mais ce maximum sous-estimera toujours la vraie valeur, ˆMT ≤ M T . En fait, l’erreur
commise se sera - sous des conditions de régularité suffisantes, O(1/ √ n).
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance