Méthodes numériques en finance

12 AMÉLIORER LA PRÉCISION DES ESTIMATIONS 180
Approximation de l’intégrale
−0.4 −0.2 0.0 0.2
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Evolution du temps
Figure 124: Options asiatiques, valeur moyenne du processus de prix sur [0, T ] .
On suppose que l’actif suit une diffusion de Black & Scholes (1973),
dS t
S t
= rdt + σdW t,
où (W t ) t≤T est un mouvement brownien standard.
• approximation de l’intégrale par une somme de Rieman, c’est à ditre des rectangles
∫
1 T
T ∗
0
S u du ∼ h T ∗ ∑ S ti
• approximation de l’intégrale par une méthode de trapèzes,
∫
1 T
T ∗
0
S u du ∼ h T ∗ ∑ S ti (1 + r ∗ h
2
• une discrétisation de l’intégrale à un ordre supérieur,
∫
1 T
T ∗
0
S u du ∼ h T ∗ ∑ S ti (1 + r ∗ h
2
+ σ ∗
+ σ ∗ W t i+1
− W ti
)
2
∫ ti+1
t i
(W u − W ti ) du)
∫
Dans ce dernier cas, notons que cela nécessite de déterminer la loi conditionnelle de
ti+1
t i
(W u − W ti ) du sachant W ti et W ti+1 : C’est une loi normale de moyenne
(
N
h · Wt i+1
− W ti
, h3
2 3
)
.
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance