MÃ©thodes numÃ©riques en finance

More documents

Recommendations

Info

12 AMÉLIORER LA PRÉCISION DES ESTIMATIONS 176 L’inégalité de Koksma-Hlawka permet alors d’étudier des convergence de type (30), Lemme 99. Pour toute fonction h, alors 1 n∑ ∫ h (u i ) − h (u) du ∣n [0,1] d ∣ ≤ V (h) D n (u) , i=1 où V (h) est une constante ne dépendant que de la fonction h (correspondant à la notion de variation totale de h au sens de Hardy-Krause). On a alors le corollaire suivant Corollaire 100. La suite {u 1 , u 2 , . . .} est équirépartie sur [0, 1] d lim n→∞ D n (u) = 0. si, et seulement si, Pour des fonctions dont la discrépance est équivalente à log α n/n1, on a alors une amélioration de la vitesse de convergence. On parle dans ce cas de suites à discrépance faible. Exemple 101. Parmi les exemples de suites à discrépance faible, on notera la suite u i = i/n, pour laquelle 1 n∑ ( ∫ i h → h (u) du. n n) [0,1] On retrouve ici la construction de l’intégrale par Rieman. i=1 Exemple 102. La suite de Van der Corput est définie en dimension 1 de la façon suivante : soit n un entier positif, et α 0 , α 1 ,... α r sa décomposition p-addique, où p est un entier strictement supérieur à 1, au sens où n = α 0 + α 1 p + ... + α r p r où 0 ≤ α i en base p est alors définie par u n = α 0 p + ... + α r p r+1 . Halton a alors généralisé cette construction en dimension d. Le graphique de la Figure 120 représente la simulation de 1500 couples (U i , V i ), indépendants et uniformément distribués sur [0, 1]×[0, 1]. La Figure ?? montre l’estimation de E[UV ] où U et V sont indépendantes et uniformément distribuées sur [0, 1]. Une autre méthode permet de simuler des échantillons en dimension d: l’échantillonage uniforme par variables antithétiques. En dimension d, on peut simuler n = 2 × k d points, k ∈ ×: • on partitionne [0, 1] d en des cubes de taille 1/k, • dans chaque cube, on tire un point uniformément, puis on prend sa version antithétique. Malgré le fait que ces algorithmes couvrent mieux l’espace, ils ne sont pas nécessairement tous optimaux pour résoudre des problèmes simples convexes. On cherche ici à calculer ∫ [0,1] 3 √ x 2 1 + x 2 2 + x 2 3dx par différentes méthodes, Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance
12 AMÉLIORER LA PRÉCISION DES ESTIMATIONS 177 Simulation par méthodes de Monte Carlo (standard) Simulation par méthodes de pseudo−Monte Carlo 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Figure 120: Suite de Halton et suite aléatoire sur [0, 1] × [0, 1] - 5000 points. Valeur d’un call européen, Quasi Monte Carlo (Halton) Valeur d’un call européen, Quasi Monte Carlo (Sobol) Valeur du call européen 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0 11.5 12.0 Valeur du call européen 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0 11.5 12.0 0 2000 4000 6000 8000 10000 Nombre de simulations 0 2000 4000 6000 8000 10000 Nombre de simulations Figure 121: Valeur d’un call européen, méthode de Quasi Monte Carlo (Halton-Sobol). Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance
Page 1 and 2:
1 Méthodes numériques en finance
Page 3 and 4:
CONTENTS 3 6.4 Petit complément su
Page 5 and 6:
CONTENTS 5 12 Améliorer la précis
Page 7 and 8:
2 INTRODUCTION AUX “OPTIONS” 7
Page 9 and 10:
Page 11 and 12:
Page 13 and 14:
3 UN PEU DE MODÉLISATION ET DE MAT
Page 15 and 16:
Page 17 and 18:
Page 19 and 20:
Page 21 and 22:
Page 23 and 24:
Page 25 and 26:
Page 27 and 28:
Page 29 and 30:
4 QUELQUES MOTS SUR L’ESTIMATION
Page 31 and 32:
4 QUELQUES MOTS SUR L’ESTIMATION
Page 33 and 34:
5 LES NOTIONS DE TAUX D’INTÉRÊT
Page 35 and 36:
Page 37 and 38:
Page 39 and 40:
Page 41 and 42:
6 OPTIONS ET ARBRES BINOMIAUX 41 6
Page 43 and 44:
6 OPTIONS ET ARBRES BINOMIAUX 43 n
Page 45 and 46:
6 OPTIONS ET ARBRES BINOMIAUX 45 so
Page 47 and 48:
6 OPTIONS ET ARBRES BINOMIAUX 47 Op
Page 49 and 50:
6 OPTIONS ET ARBRES BINOMIAUX 49 Er
Page 51 and 52:
6 OPTIONS ET ARBRES BINOMIAUX 51 co
Page 53 and 54:
6 OPTIONS ET ARBRES BINOMIAUX 53 6.
Page 55 and 56:
6 OPTIONS ET ARBRES BINOMIAUX 55 Ar
Page 57 and 58:
6 OPTIONS ET ARBRES BINOMIAUX 57 Op
Page 59 and 60:
6 OPTIONS ET ARBRES BINOMIAUX 59 et
Page 61 and 62:
6 OPTIONS ET ARBRES BINOMIAUX 61 n
Page 63 and 64:
6 OPTIONS ET ARBRES BINOMIAUX 63 Ar
Page 65 and 66:
6 OPTIONS ET ARBRES BINOMIAUX 65 Pr
Page 67 and 68:
6 OPTIONS ET ARBRES BINOMIAUX 67 Pr
Page 69 and 70:
7 VALORISATION EN TEMPS CONTINU 69
Page 71 and 72:
Page 73 and 74:
Page 75 and 76:
8 APPROCHE PAR LES ÉQUATIONS AUX D
Page 77 and 78:
Page 79 and 80:
Page 81 and 82:
Page 83 and 84:
Page 85 and 86:
9 PETITS RAPPELS D’ANALYSE NUMÉR
Page 87 and 88:
Page 89 and 90:
Page 91 and 92:
Page 93 and 94:
Page 95 and 96:
Page 97 and 98:
10 RÉSOLUTION DES EDP ET DIFFÉREN
Page 99 and 100:
Page 101 and 102:
Page 103 and 104:
Espace Espace Espace Espace 10 RÉS
Page 105 and 106:
Page 107 and 108:
Page 109 and 110:
Page 111 and 112:
Page 113 and 114:
Page 115 and 116:
Page 117 and 118:
Page 119 and 120:
Page 121 and 122:
Page 123 and 124:
Page 125 and 126: 10 RÉSOLUTION DES EDP ET DIFFÉREN
Page 127 and 128: 11 MÉTHODES DE SIMULATIONS DANS LE
Page 153 and 154: Volatilité Volatilité Volatilité
Page 165 and 166: 12 AMÉLIORER LA PRÉCISION DES EST
Page 175: 12 AMÉLIORER LA PRÉCISION DES EST
Page 191 and 192: 14 OPTIONS AMÉRICAINES 191 Base de
Page 193 and 194: 14 OPTIONS AMÉRICAINES 193 où •
Page 195 and 196: 14 OPTIONS AMÉRICAINES 195 Aussi,
Page 197 and 198: 14 OPTIONS AMÉRICAINES 197 La solu
Page 199 and 200: 14 OPTIONS AMÉRICAINES 199 Région
Page 201 and 202: 14 OPTIONS AMÉRICAINES 201 14.14 A
Page 203 and 204: 14 OPTIONS AMÉRICAINES 203 Prix de
Page 207 and 208: 14 OPTIONS AMÉRICAINES 207 14.17 U
Page 209 and 210: 14 OPTIONS AMÉRICAINES 209 Monte C
Page 213 and 214: 14 OPTIONS AMÉRICAINES 213 Si p i,
Page 215 and 216: 14 OPTIONS AMÉRICAINES 215 Polynom
Page 217 and 218: 15 ELEMENTS BIBLIOGRAPHIQUES 217 15
Page 219 and 220: 15 ELEMENTS BIBLIOGRAPHIQUES 219 De
show all

MÃ©thodes numÃ©riques en finance

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?