Méthodes numériques en finance

6 OPTIONS ET ARBRES BINOMIAUX 58
Arbre binomial pour les taux d’intérêt
Arbre pour les prix des zéro−coupons
−6 −4 −2 0 2 4 6
r
r u
r d
r uu
r dd
r ud
r uuu
r udd
r ddd
r uud
r uuuu
r uudd
r dddd
r uddd
r uuud
r uuuuu
r uuudd
r udddd
r uuddd
r uuuud
−6 −4 −2 0 2 4 6
B 5 (0)
B 5 (u)
B 5 (d)
B 5 (u 2 )
B 5 (ud)
B 5 (d 2 )
B 5 (u 4 )
B 5 (u 3 )
B 5 (u 3 d)
B 5 (u 2 d)
B 5 (u 2 d 2 )
B 5 (ud 2 )
B 5 (ud 3 )
B 5 (d 3 )
B 5 (d 4 )
r ddddd
0 1 2 3 4 5 6
1
1
1
1
1
1
0 1 2 3 4 5 6
Figure 31: Arbres pour les taux, et pour les prix des zéro-coupons.
6.14 Utilisation des arbres pour modéliser les processus de taux
Le modèle de Ho & Lee (1986), présenté auparavant en temps continu, est en fait un
processus de diffusion sur un arbre.
On note B i (n, T ) la valeur à la nième période d’un zéro-coupon de maturité résiduelle
T , se trouvant dans l’état du monde i. S’il y a une hausse, on passe à B i+1 (n+1, T −1) à la
date suivante, et sinon B i (n+1, T −1) en cas de baisse. L’hypothèse d’arbre recombinant
est là aussi faite.
Pour valoriser ces zéro-coupons, on note qu’il existe deux manière, à la date n,
d’obtenir 1 euro en T + 1:
• acheter un zéro-coupon de maturité T + 1, ce qui vaut B i (n, T + 1),
• acheter un zéro-coupon de maturité 1, puis, dans une période, acheter un nouveau
zéro-coupon de maturité T . Ce double achat vaut
B i (n, 1)B i (n + 1, T ) = B i (n, 1)B i+1 (n + 1, T ).????
Suivant que les taux montent ou baisse, Ho & Lee (1986) propose d’introduire deux
fonctions perturbatrices.
6.15 Une extension possible: cas d’un taux ou d’une volatilité
stochastique
Au lieu de supposer deux évolutions de cours (corrélés), il est aussi possible de considérer
un modèle avec un taux d’intérêt stochastique.
Formellement, si l’on suppose un processus de diffusion de la forme suivante pour le
taux sans risque
dr t = a(r, t)dt + σ r dWt r ,
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance