Méthodes numériques en finance

9 PETITS RAPPELS D’ANALYSE NUMÉRIQUE 87
Proposition 44. Si A est un matrice tridiagonale définie positive, la méthode relaxation converge
pour ω ∈]0, 2[. De plus, il existe un paramètre optimal donné par
ω ∗ =
2
1 + √ 1 − ρ(D −1 [−U − L]) .
Si ω > 1, on parlera de surrelaxation.
Enfin, parmi les méthodes classiques, on peut penser à une descente de gradient.
Si l’on cherche à résoudre Ax = b , on pose
h(z) = 1 2 z′ Az − bz.
Proposition 45. Si A est un matrice symmétrique définie positive„ et si x vérifie Ax = b, alors
pour tout z ≠ x , h(z) > h(x).
En effet, soit ɛ tel que z = x + ɛ, alors
h(z) = h(x + ɛ) = h(x) + 1 2 ɛ′ Aɛ.
A étant symétrique définie postive, et comme ɛ ≠ 0, le terme de droite est strictement positif.
On utilise alors une descente de gradient pour résoudre ce problème: on se donne un vecteur
z k+1 non nul, puis on pose
x k+1 = x k + α k+1 z k+1 ,
où α k+1 minimise la quantité h(x k + αz k+1 ). Un calcul explicite donne
α k+1 = (zk+1 ) ′ ( b − Ax k)
(z k+1 ) ′ Az k+1 .
Le choix de la direction de la descente z k+1 peut se faire naturellement en prenant la direction
de plus grande pente. On pose alors z k+1 = gradh(x k ), c’est à dire
z k+1 = gradh(x k ) = Ax k ) − b
L’algorithme est alors relativement simple, à partir de x 0 (fixé arbitrairement) et de r 0 =
b − Ax 0 , pour k = 0, 1, ...
• on pose ω k = −Ar k−1 et α k+1 = ‖rk ‖ 2
(r k ) ′ ω k+1 ,
• on pose x k+1 = x k − α k+1 r k , et r k+1 = r k − α k+1 ω k+1 .
On s’arrête lorsque r k+1 est nul (ou suffisement petit).
Notons qu’on peut améliorer cet algorithme en corrigeant la direction −r k (prise dans le
passage de x k à x k+1 ) de telle sorte que l’erreur commise soit la plus petite possible, pour la
norme ‖ · ‖ A = √·′A·: on pose alors
z k+1 = −r k + β k z k , où β k = (rk ) ′ Az k
(z k ) ′ Az k .
On parlera alors de méthode du gradient conjugué. L’algorithme est alors, là aussi, relativement
simple, à partir de x 0 (fixé arbitrairement) et de r 0 = b − Ax 0 . On pose alors
et x 1 = x 0 + α 1 z 1 . Pour k = 1, 2, ...
z 1 = −r 0 , ω 1 = Az 1 , α 1 = (r0 ) ′ z 1
(z 1 ) ′ ω 1 ,
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance