Méthodes numériques en finance

14 OPTIONS AMÉRICAINES 212
Algorithme de Barraquand & Martineau (1995)
−1 0 1 2
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Figure 149: Algorithme de Barraquand & Martineau (1995).
puis d’estimer, à partir de n simulations, les matrices de transition de k 1 à k 2 , entre chaque
date.
Soient S i t, i = 1, ..., n les n trajectoires simulées, aux dates t 1 , ..., t m . A chaques dates
(s, t) = (t i , t j ), et pour tout t 1 , t 2 ∈ {1, ..., K}, on note p i,j (k 1 , k 2 ) le nombre de trajectoires
qui sont passés du niveau k 1 à la date t i au niveau k 2 à la date k j . On note également
a i (k) le nombre de trajectoires au niveau k à la date t i .
Posons c i (k) la somme de tous les payoffs cumulés des trajectoires qui étaient au niveau
k à la date t i . La valeur moyenne est alors c i (k)/a i (k) = γ i (k). De manière récursive, on
calcule γ m (k) (à échéance, t m = T ), puis on pose
{ K
}
c i (k)
γ i (k) = max
a i (k) , ∑
p k1 ,k 2
× γ i+1 (j) ,
et on calcule récursivement jusqu’à t = 0.
14.22 Complément: simulation de chaînes de Markov
Définition 112. Une chaîne de Markov est une suite de variables aléatoires (X n ) n∈N
définies sur un espace E (dit espace d’état) tel que, pour tout n ≥ 0 et pour tout x 1 , ..., x n ∈
E,
(X n+1 |X n = x n , ...X 1 = x 1 ) L = (X n+1 |X n = x n ).
j=1
Si l’espace d’état E est fini, ou dénombrable, on l’identifiera à N (ou {1, 2, ..., n}. On
note
p i,j,n = P(X n+1 = j|X n = i) pour tout i, j ∈ E.
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance