Méthodes numériques en finance

10 RÉSOLUTION DES EDP ET DIFFÉRENCES FINIES 109
et de regarder la limite quand k → ∞ (cette méthode est en effet convergente dès lors
que κ > 0).
La méthode de Gauss-Siegel est une amélioration, qui propose de calculer u k+1
i,j+1 à
partir de u k+1
i−1,j+1 , au lieu de uk i−1,j+1. Aussi, (14) devient
u k+1
i,j+1 = 1
1 + 2κ (b(x i, t j ) + κ [ ]
u i−1,j+1 ) k+1 + u k i+1,j+1 ). (15)
Enfin, la méthode SOR est un raffinement supplémentaire, où on écrit simplement
u k+1
i,j+1 = u(x i, t j+1 ) k + [ u k+1
i,j+1 − uk i,j+1]
, (16)
c’est ) dire que la valeur à l’étape k + 1 correspond à la valeur à la date k, auquel est
ajouté un terme correctif. On peut en particulier introduire un paramètre de relaxation
θ ∈]0, 2[, et
⎧
⎨
y (x i , t j+1 ) k+1 = 1
1 + 2κ (b(x i, t j ) + κ [ u k+1
i−1,j+1 + i+1,j+1] uk )
⎩ u(x i , t j+1 ) k+1 = u(x i , t j+1 ) k + θ [ u k+1
i,j+1 − ]
uk i,j+1
On parle de “sur-relaxation” si θ ∈]1, 2[, et de “sous-relaxation” si θ ∈]0, 1[.
Résolution - méthode SOR
10.11 schéma de Crank-Nicolson
Ce schéma est une “moyenne” des deux précédants, où on considère la discrétisation
suivant
u i,j+1 − u i,j
∆t
− 1 [
ui−1,j − 2u i+1,j + u i,j
+ u ]
i−1,j+1 − 2u i+1,j+1 + u i,j+1
2 h 2
h 2
= 0,
Ce schéma implicte est consistant, d’ordre 2 en x et en t. Notons que
κu i−1,j+1 − 1(1 + κ)u i,j+1 + dκu i+1,j+1 = −κu i,j−1 − 2(1 − κ)u i,j − dκu i,j+1 .
Le facteur d’amplification s’écrit
g(hξ) = 1 − 2κ sin2 (hξ/2)
1 + 2κ sin 2 (hξ/2) = 1 + 4κ sin2 (hξ/2)
1 + 2κ sin 2 (hξ/2) ,
donc g(hξ) ≤ 1 quelles que soient les valeur retenue. Le schéma est donc stable.
Le schéma itératif s’écrit
u i,j+1 − 1 2 κ (u i−1,j+1 − 2u i,j+1 + u i+1,j+1 ) = u i,j − 1 2 κ (u i−1,j − 2u i,j + u i+1,j ) ,
en notant encore une fois κ = ∆t/h 2 . La résolution se fait à l’aide de méthodes similaires
à celles définie auparavant. En particulier, on peut calculer
v(x i , t j ) = (1 − κ)u i,j + κ ( )
ui−1,j+ui+1,j ,
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Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance