Méthodes numériques en finance

7 VALORISATION EN TEMPS CONTINU 72
7.5 Application au pricing d’options
Considérons un call: en notant g(x) = (x − K) + , le payoff s’écrit Z = g(S T ).
L’idée central pour valoriser les options est celle de portefeuille de réplication. Considérons
une stratégie (α 0 t , α t ) t∈R +, la valeur du portefeuille associée est V t (α) = α 0 t S 0 t + α t S t .
En temps discret, on dira qu’une stratégie (α 0 t , α t ) t∈N est autofinancée si
V t+1 (α) − V t (α) = α 0 t+1(S 0 t+1 − S 0 t ) + α t+1 (S t+1 − S t ),
dont la version en temps continue est alors
dV t (α) = α 0 t dS 0 t + α t dS t .
Cette dernière relation s’écrira plus généralement
α 0 t S 0 t + α t S t = α 0 0S 0 0 + α 0 S 0 +
∫ t
On rajoutera également l’hypothèse technique
0
α 0 sS 0 s +
∫ T
0
∫ t
0
α s S s pour tout s ∈ [0, T ].
|α 0 t |dt +
∫ T
0
α 2 t dt < ∞.
On notera que la stratégie est autofinancée si la valeur actualisée du portefeuille associé
s’écrit
Ṽ t (α) = V 0 (α) +
∫ t
0
α s d ˜S s pour tout t ∈ [0, T ].
La stratégie sera admissible si en plus la valeur } actualisée du portefeuille associé,
Ṽ t (α) = αt 0 + α t ˜St est positive et que sup
{Ṽt est de carré intégrable. On dire enfin
t∈[0,T ]
que l’option est réplicable s’il existe une stratégie admissible dont la valeur à l’échéance
est la même que l’option.
Théorème 34. Dans le modèle de Black & Scholes (1973), considérons une option
définie par un payoff Z, positif, F T mesurable et de carré intégrable sous la probabilité Q.
La valeur est alors
V t = E Q (e −r(T −t) Z|F t ).
Proof. On suppose qu’il existe une stratégie permettant de répliquer l’option. Pour tout
t ∈ [0, T ], V t = αt 0 St 0 + α t S t , soit, en valeur actualisée,
Ṽ t = α 0 t + α t ˜St = V 0 +
∫ t
0
α s d ˜S s = V 0 +
∫ t
0
α u σ ˜S s dW s .
Aussi, Ṽt s’écrit comme une intégrale stochastique par rapport à (W t ) t∈R , et donc, sous
Q, (Ṽt) t∈R est une martingale de carré intégrable. Donc pour tout t ∈ [0, T ],
Ṽ t = E Q (ṼT |F t ) = E Q (e −r(T −t) Z|F t ).
La construction d’une telle stratégie se trouve dans Lamberton & Lapeyre (1997).
L’idée étant d’écrire la martingale M t = E Q (e −rT Z|F t ) sous la forme M t = M 0 + ∫ t
K 0 sdW s
pour tout t (théorème de représentation des martingales), puis de considérer α t =
K t /(σ ˜S t ), et αt 0 = M t − α t ˜St ).
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance