Méthodes numériques en finance

9 PETITS RAPPELS D’ANALYSE NUMÉRIQUE 88
Méthode de la bissection
−0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Figure 42: Méthode de la bissection
• on pose r k = r k−1 − α k z k et β k = (rk ) ′ Az k
(z k ) ′ Az k ,
• on pose z k+1 = −r k + β k z k et ω k+1 = Az k+1 ,
• on pose α k+1 = (rk ) ′ z k+1
(z k+1 ) ′ ω k+1 et xk+1 = x k + α k+1 z k+1 .
On s’arrête lorsque r k+1 est nul. Il est possible de montrer que r k+1 = 0 en au plus n itérations
(n étant la taille de A).
9.2 Recherche de zéros
Nous cherchions auparavent à résoudre un sytème d’équations linéaires. De manière générale, on
peut s’intéresse à un problème non-linéaire de la forme suivante: rechercher x tel que f(x) = 0.
La méthode de la bissection est la plus simple, en dimension 1, condition de connaître a et b
tels que f(a) et f(b) soient de signe opposés. On pose alors x 0 = a et x 1 = (a + b)/2.
• si f(x 1 ) × f(x 0 ) < 0 alors x 2 = (x 1 + x 0 )/2,
• si f(x 1 ) × f(x 0 ) > 0 alors x 2 = (x 1 + x 0 )/2 + (x 1 − x 0 ), et on itère... Notons que la distance
entre x ∗ (vérifiant f(x ∗ ) = 0) et x n est ainsi majorée par (b − a)/2 n+1 . C’est à dire que
On parlera alors de convergence linéaire.
|x n − x ∗ |leq 1 2 |x n−1 − x ∗ |.
Définition 46. Une méthode est convergente l’ordre p s’il existe κ > 0 telle que
|x n − x ∗ |leqκ|x n−1 − x ∗ | p .
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance