Méthodes numériques en finance

6 OPTIONS ET ARBRES BINOMIAUX 56
p d1 d 2
= 1 4
(
1 + ρ − √ [
µ1
t + µ ])
2
,
σ 1 σ 2
où µ i = r − σ 2 i /2. Cette méthode est justifiée dans Boyle, Evnine & Gibbs (1989).
L’idée est d’utiliser une approximation à l’ordre 1, par la formule de Taylor, de la fonction
charactéristique du vecteur Gaussien. On suppose en effet que
dS i t
S i t
= µ i dt + σ i dW i
t , pour i = 1, 2,
où (W t ) t≥0 = (Wt 1 , Wt 2 ) t≥0 est un mouvement brownien (standard) bivariée, de corrélation
ρ (on parlera aussi de corrélation instantannée entre dWt 1 et dWt 2 ). Dans le cas continue
(et de rendements Gaussiens), la fonction charactéristique des rendements entre t et t est
alors
Φ R (x, y) = 1 + i √ t (xµ 1 + yµ 2 ) − t ( )
x 2 σ1 2 + 2xyσ 1 σ 2 ρ + y 2 σ2
2 + o(t).
2
où R 1 et R 2 désigne le rendement entre les dates 0 et t = T/n, pour le processus discrétisé,
i.e. R i = log(S1/S i 0). i La fonction charactéristique de R = (R 1 , R 2 ) est
Ψ R (t, u) = E(exp(itR 1 + iuR 2 )).
Dans le cas de notre processus à 4 états, on obtient que
Ψ R (x, y) = p u1 u 2
exp(i √ t[xσ1 + yσ 2 ]) + p u1 d 2
exp(i √ t[xσ1 − yσ 2 ])
+p d1 u 2
exp(i √ t[−xσ1 + yσ 2 ]) + p d1 d 2
exp(i √ t[−xσ1 − yσ 2 ]),
d’où, en faisant un développement de Taylor à l’ordre 1,
Ψ R (x, y) = p u1 u 2
(
1 + i √ t[xσ1 + yσ 2 ] − t 2 [xσ1 + yσ 2] 2 )
+p u1 d 2
(
1 + i √ t[xσ1 − yσ 2 ] − t 2 [xσ1 − yσ 2] 2 )
+p d1 u 2
(
1 + i √ t[−xσ1 + yσ 2 ] − t 2 [−xσ1 + yσ 2] 2 )
+ p d1 d 2
(
1 + i √ t[−xσ1 − yσ 2 ] − t 2 [−xσ1 − yσ 2] 2 )
+ o(t).
Cette dernière expression peut se simplifier sous la forme
Ψ R (x, y) = 1 + i √ t ([xσ 1 (p u1 u 2
+ p u1 d 2
− p d1 u 2
− p d1 d 2
)] + [yσ 2 (p u1 u 2
− p u1 d 2
+ p d1 u 2
− p d1 d 2
)])
− t (
x 2 σ1 2 + 2xyσ 1 σ 2 [(p u1 u
2
2
− p u1 d 2
− p d1 u 2
+ p d1 d 2
)] + y 2 σ 2) + o(t).
Par identification entre les deux premiers termes du développement de Taylor, on
obtient le système ⎧⎪ ⎨
⎪ ⎩
p u1 u 2
+ p u1 d 2
+ p d1 u 2
+ p d1 d 2
= 1
p u1 u 2
− p u1 d 2
− p d1 u 2
+ p d1 d 2
= ρ
p u1 u 2
+ p u1 d 2
− p d1 u 2
− p d1 d 2
= √ tµ 1 /σ 1
p u1 u 2
− p u1 d 2
+ p d1 u 2
− p d1 d 2
= √ tµ 2 /σ 2
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance