Méthodes numériques en finance

6 OPTIONS ET ARBRES BINOMIAUX 67
Prix du sous−jacent
Prix du sous−jacent normalisé par le maxima
−6 −4 −2 0 2 4 6
50
59.79
41.81
71.5
50
34.96
85.51
59.79
41.81
29.23
102.26
71.5
50
34.96
24.44
122.29
85.51
59.79
41.81
29.23
20.44
−6 −4 −2 0 2 4 6
1
1
1.43
1
1.43
2.04
1
1.43
2.04
2.92
1
1.43
2.04
2.92
4.18
1
1.43
2.04
2.92
4.18
5.98
0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4 5 6
Figure 41: Réécriture de l’arbre du sous-jacent, en normalisant par le maximum observé
entre 0 et t.
• la méthode forward shooting grid de Barraquand & Pudet (1996)
On discrétise pour cela deux variables: le cours du sous jacent S et la moyenne du sous
jacent A. On pose ∆S = σ √ ∆t et ∆A = ρ∆S, où σ est la volatilité du sous-jacent, et
ρ un paramètre liant la discrétisation du sous-jacent à celle de la moyenne (quantization
parameter). On va supposer que 1/ρ ∈ N. Avec ces notations, on va discrétiser les valeurs
du processus en temps, mais aussi en espace: S n,j = S 0 exp(j∆S) pour n = 0, ..., m et
j = −n, −n + 1, ..., n − 1, n, et A n,k = S 0 exp(k∆A), où k prend des valeurs entre −n/ρ
et n/ρ.
Conformément à la construction de l’arbre binomial pour le prix du sous-jacent, S j,n
passe soit à S j+1,n+1 soit à S j−1,n+1 entre les dates t n et t n+1 , avec les probabilités respectives
p et 1 − p. De manière analogue, A n,k passe soit à A n+1,k +, soit à A n+1,k −, en
fonction du fait que le sous-jacent est monté ou descendu, c’est à dire
A n+1,k ± = A n,k + (S n+1,j±1 − A n,k )
,
n + 2
en utilisant la formule de mise à jour de la moyenne. Dans le cas qui nous interesse,
notons que
( )
log
k ± An+1,k ±
= Partie entière
.
ρ∆S
On calcule alors le prix de l’option, C j,k,n = C(S n,j , A n,k , n∆t) atteind par l’option à la
date n∆t, lorsque le prix du sous-jacent est en S n,j et la moyenne du prix du sous-jacent
entre 0 et n∆t vaut A n,k . Si p est la probabilité risque neutre, i.e.
p = exp(r∆t) − exp(−σ√ ∆t)
exp(σ √ ∆t) − exp(−σ √ ∆t .
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance