Méthodes numériques en finance

6 OPTIONS ET ARBRES BINOMIAUX 53
6.12 Arbre trinomial, ou méthode de Boyle (1986)
L’idée de Boyle (1986) était de proposer un algorithme convergent plus rapidement que
l’algorithme binomial. Pour cela, à chaque noeud, trois direction sont envisagées, où à la
date 1 trois valeurs sont envisagée
⎧
⎨ S 1 = S 0 u avec probabilité p u
S 1 = S 0 avec probabilité p s
⎩
S 1 = S 0 d avec probabilité p d
où
(
e σ√ ) 2 T/2 − e rT/2
p d =
e σ√T/2 − e −σ√ ,
T/2
(
e rT/2 − e −σ√ ) 2
T/2
p u =
e σ√T/2 − e −σ√ ,
T/2
et p s = 1 − p u − p d .
Cette méthode revient à peu de choses prêt, à sauter un pas de temps dans le modèle
binomial, en supposant que l’on passe de t = 0 à t = 2 puis à t = 4,... etc.
Là encore, une alternative possible est de poser u = exp(σ √ 3t) et d = exp(−σ √ 3t).
Les probabilités de transition
√ ( )
t
p u = r − σ2
+ 1 12σ 2 2 6 ,
pour la probabilité de passer de S 0 à S 0 u
√ ( )
t
p s = − r − σ2
+ 1 12σ 2 2 6 ,
pour la probabilité de passer de S 0 à S 0 d, et p s = 2/3 pour la probabilité de rester à S 0 .
Une autre manière de présenter cette méthode est d’utiliser la moyenne des valeurs
obtenues sur n dates, et sur n − 1 (les valeurs du call changeant de signe en fonction de
la parité de n)
6.13 Extention aux options multisupport (ou arc-en-ciel)
On s’intéresse ici à des options basées sur deux sous-jacents dont les cours sont (S 1,t ) t≥0
et (S 2,t ) t≥0 respectivement. On note p 1 et p 2 les probabilités de hausse des deux titres,
respectivement. Alors, si l’on suppose les variations comme étant indépendantes d’une
date à l’autre,
• S 1 et S 2 augmentent avec probabilité p 1 · p 2 ,
• S 1 augmente et S 2 baisse avec probabilité p 1 · (1 − p 2 ),
• S 1 baisse et S 2 augmente avec probabilité (1 − p 1 ) · p 2 ,
• S 1 et S 2 diminuent avec probabilité (1 − p 1 ) · (1 − p 2 ).
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance