Méthodes numériques en finance

11 MÉTHODES DE SIMULATIONS DANS LE MODÈLE DE BLACK & SCHOLES (1973) 145
Approximation d’Euler du mouvement Brownien − n = 20
Approximation d’Euler du mouvement Brownien − n = 100
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Figure 86: Schéma d’Euler, interpolation linéaire, n = 20, et n = 100.
Définition 84. Le processus (X (n)
t ) t∈[0,T ] est une solution forte de l’équation (26) si et
seulement si
e s (δ n ) → 0 quand δ n → 0.
Une notion plus faible est basée sur l’étude des moments,
e w (δ n ) = |Ef(X T (ω)) − Ef(X (n)
T
(ω))|.
Définition 85. Le processus (X (n)
t ) t∈[0,T ] est une solution faible de l’équation (26) si et
seulement si
e w (δ n ) → 0 quand δ n → 0.
Un indice permet de plus de quantifier la vitesse de convergence de l’approximation.
Définition 86. Le processus (X (n)
t ) t∈[0,T ] converge vers (X t ) t∈[0,T ] à l’ordre γ > 0 de
l’équation (26) si et seulement si il existe κ > 0 telle que
e s (δ n ) ≤ κδ γ n ou e w (δ n ) ≤ κδ γ n.
Proposition 87. L’approximation d’Euler à pas constant converge fortement à l’ordre
γ = 1/2, et faiblement à l’ordre γ = 1.
Notons qu’il existe d’autres approximations, qui convergent plus vite. Rappelons que
l’équation différentielle stochastique peut se réécrire
X t = X 0 +
∫ t
0
a(X s )ds +
∫ t
0
b(X s )dW s pour t ∈ [0, T ].
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance