Méthodes numériques en finance

7 VALORISATION EN TEMPS CONTINU 71
Ce changement de mesure peut être intéressant sur les processus de diffusion. Considérons
une diffusion de la forme dS t = adt + bdW t , où a et b sont des constantes, et (W t )
un mouvement brownien, sous P. Est-il possible de faire un changement de probabilité,
de telle sorte que ce processus puisse s’écrire dS t = bd ˜W t , où ( ˜W t ) est un (autre) mouvement
brownien ? Une autre lecture est: peut-on passer d’une diffusion avec drift à une
martingale par un changement de mesure ?
La seule solution est que ( ˜W t ) satisfasse d ˜W t = dW t − a/bdt. La question que l’on se
posait est alors: est-il possible de faire un changement de probabilité pour que le processus
( ˜W t ) soit un mouvement brownien ?
En fait, ( ˜W t ) est un mouvement brownien sous la mesure Q, où
dQ = Z T dP, i.e. Z T = dQ
dP
la dérivée de Radon-Nikodym est telle que
(
Z t = exp − a b W t − 1 ( a
) ) 2
t .
2 b
En particulier
E Q (X) = E P (X × Z T ) pour tout X.
Le théorème de Girsanov permet de généraliser ce qui vient d’être fait, c’est à dire, en
changeant de probabilité, d’obtenir des martingales,
Théorème 33. Soit (S t ) t∈[0,T ] un processus vérifiant ∫ T
0 S2 t dt < ∞ presque sûrement, et
tel que
( ∫ t
L t = exp − S s dW s − 1 ∫ t
)
Ss 2 s
(6)
2
0
soit une filtration. Sous la probabilité Q, de densité L T par rapport à P, le processus
(Y t ) t∈[0,T ] défini par Y t = W t + ∫ t
0 S sds est un mouvement brownien.
Proof. Karatzas & Shreve (1988).
Dans le modèle de Black & Scholes (1973), il est possible d’utiliser ce théorème
pour montrer qu’il existe une probabilité équivalente à P sous laquelle le processus de prix
actualisé ( ˜S t ) t∈R +, défini par ˜S t = e −rt · S t , est une martingale.
d ˜S t = −re −rt S t dt + e −rt dS t = ˜S t [(µ − r)dt + σdW t ],
et en notant ˜W t = W t + (µ − r)tσ, on peut écrire
d ˜S t = ˜S t σd ˜W t .
D’après le théorème de Girsanov, il existe un probabilité Q, équivalent à P sous laquelle
( ˜W t ) t∈R + est un mouvement brownien standard. Aussi, on peut montrer que sous la
probabilité Q, ( ˜S t ) t∈R + est une martingale, et
)
˜S t = ˜S 0 exp
(σW t − σ2
2 t .
0
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance