Méthodes numériques en finance

8 APPROCHE PAR LES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES 78
(1991) pour des conditions nécessaires et suffisantes) u peut s’écrire sous la forme d’une espérance
conditionnelle,
u(t, x) = E(h(X T )|X t = x),
où (X t ) t∈[0,T ] est un processus d’Ito, dont la diffusion est donnée par
dX t = µ(t, X t )dt + σ(t, X t )dW t ,
dont la condition inital à la date t est X t = x. Et réciproquement.
Pour montrer que si u(t, x) = E(h(X T )|X t = x) où (X t ) suit une diffusion de la forme est
dX t = µ(t, X t )dt + σ(t, X t )dW t alors u est solution d’une équation auw dérivées partielles est de
monter que Z t = u(t, X t ) est une martignale. En effet, pour s ≥ t, si on note E t (·) = E(·|F t ),
alors Z s = E s (h(X T )) et donc
E t (Z s ) = E t (E s (h(X T ))) = E t (E s (h(X T ))) = Z t ,
comme (X t ) est un processus Markovien. En utilisant la formule d’Ito, on obtient que
( ∂u
dZ t =
∂t + µ(t, X t) ∂u
∂x + 1 )
2 σ(t, X t) 2 ∂2 u
∂x 2 dt + σ(t, X t ) ∂u
∂x dW t.
Or comme (Z t ) est une martingale, alors nécessairement le drift est nul.
8.6 Généralisation en dimension d
La Proposition 36 se généralise dans les cas d’une option sur plusieurs sous-jacents. Supposons
que l’on s’intéresse à une option européenne, de maturité T , offrant un payoff h(S T ), où les prix
des sous-jacents sont donnés par les diffusions suivantes,
dS i t
S i t
= µ i dt + σ i dW i t , pour i = 1, 2, ..., n,
où (W t ) t≥0 = (W 1 t , W 2 t , ...., W n t ) t≥0 est un mouvement brownien (standard) en dimension n,
de matrice de corrélation Σ = [ρ i,j ] (on parlera aussi de corrélation instantannée entre dW i t et
dW j t ).
Proposition 39. Le prix d’une option européen, de payoff h(S T ) à maturité T vaut, à la date
t = 0, g(0, S 0 ) où g est la solution de l’équation aux dérivées partielles
∂g
n∑
∂t + r ∂g
x i + 1 ∂x i 2
i=1
n∑
σ 2 ∂ 2 g
x i x j = rg, (11)
∂x i ∂x j
i,j=1
avec les conditions de bords g(T, S T ) = h(S T ). Notons que le portefeuille de réplication est
obtenu à partir de ∂g(0, S 0 )/∂x i investie dans le ième actif risqué. Réciproquement, si l’équation
au dérivées partielle 11 admet une solution dont la dérivée en x i est bornée pour tout i, le prix
de l’option en t = 0 est alors g(0, S 0 ).
Proof. L’idée de la preuve est la suivante: on suppose que dS 1 t = µ 1 S 1 t dt + σ 1 S 1 t dW 1 t pour le
premier actif, et dS 2 t = µ 2 S 2 t + σ 2 S 2 t dW 2 t pour le second. Si g est suffisamment régulière, on
applique la formule de Taylor à f(S 1 t + ds 1 , S 2 t + ds 2 ), à savoir
f(St 1 + ds 1 , St 2 + ds 2 ) = f(St 1 , St 2 ∂f(St 1 , St 2 ) ∂f(St 1 , St 2 )
) + ds 1 + ds 2
∂x
∂y
+ 1 ∂ 2 f(S
2 ds2 t 1 , St 2 )
1
∂x 2 + 1 ∂ 2 f(S
2 ds2 t 1 , St 2 ) ∂ 2 f(St 1 , St 2 )
2
∂y 2 + ds 1 ds 2 + ...
∂x∂y
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance