Méthodes numériques en finance

14 OPTIONS AMÉRICAINES 205
14.16 Approximation de la forme de la frontière d’exercice
Omberg (1987) et Chesney (1987) ont obtenue une formule exponentielle en supposant
que la fcontière d’exercice avait une forme exponentielle.
Remarque 110. Cette spécification de la forme de la frontière d’efficience est parfois
appelée option canadienne ( Carr (1996)).
On considère ici une option européenne dont la maturité n’est plus T , mais une variable
aléatoire τ, distribuée suivant une loi exponentielle de moyenne T , i.e.
P(τ > t) = exp(−t/T )
Une autre interprétation est de dire que l’option est exercée à une date correspondant
au premier saut d’un processus de Poisson. Rappelons aussi que la loi exponentielle est
une loi sans mémoire, i.e. P(τ > t + x|τ > x) = exp(−t/T ).
Un calcul rapide permet de montrer que le prix de cette option est
Π ∗ (S 0 , T ) =
∫ ∞
0
1
T exp (− t T
)
Π(S 0 , t)dt,
où Π(S 0 , t) est le prix de l’option européenne de même payoff, de maturité t. Aussi, dans
le cas d’un put canadien, une formule fermée peut être obtenue puisque
où, pour rappel,
avec d 2 = d 1 − σ √ t.
Π(S 0 , t) = S 0 Φ(d 1 ) − Ke −rt Φ(d 2 )
d 1 = 1 ( ( ) S
σ √ log +
t K
) )
(r + σ2
t ,
2
Proposition 111. Le prix d’un put canadien est donné par
{
P ∗ ζ(S0 ) + 1
(S 0 , T ) =
K si S 1+rT 0 < K
η(S 0 ) si S 0 ≥ K
où
(
1
ζ(x) = 1 − θ ) (
− x
) θ+
K ,
θ + − θ − 1 + rT K
(
1
η(x) = 1 − θ ) (
+ x
) θ−
K ,
θ + − θ − 1 + rT K
où θ ± sont les racines de l’équation du second degré
)
1
2 σ2 θ 2 +
(r − σ2
θ − 1 2 T = r,
soit
θ ± = 1 σ 2 ⎛
⎝−
) (r − σ2
±
2
√ ( ) 2 ( ) ⎞
r − σ2
1
+ 2σ
2
2 T + r ⎠
Dans le cas d’un call canadien, alors
{ ζ(S0 ) si S 0 < K
C ∗ (S 0 , T ) =
η(S 0 ) − 1
1 + rT Kη(S 0) si S 0 ≥ K ,
,
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance