Méthodes numériques en finance

5 LES NOTIONS DE TAUX D’INTÉRÊT 35
La courbe des taux est alors la fonction τ ↦→ R(t, τ). On parlera de courbe plate si
cette fonction est constante.
On note V i le prix du strip
V i (t) =
F i
(1 + R(t, i − t)) i−t = F i · B(t, i),
où R(t, τ) est le taux de rendement de l’obligation zéro-coupon d’échéance t+τ, et B(t, T )
est le prix à la date t de l’obligation zéro-coupon rapportant 1 euro en T .
On alors écrire le prix d’une obligation à la date t sous la forme
V i (t) =
T∑
i=t+1
F i
T∑
(1 + R(t, i − t)) = i−t
i=t+1
F i · B(t, i).
Aussi, pour évaluer une obligation, il suffit de connaître les taux zéro-coupon associés
aux maturités de chacun des flux. La principale difficulté est qu’il n’existe que peu
d’obligations zéro-coupon. On doit alors extrapoler les différents taux.
Ces taux zéro-coupon permettent d’en déduire des taux forwards, ainsi que des taux
de rendement au pair.
Le taux forward F (t, x, y − x) le taux déterminé en t, démarrant en x et d’échéance
y, défini par
( ) 1
(1 + R(t, y))
y−t y−x
F (t, x, y − x) =
− 1.
(1 + R(t, x)) x−t
On appelle taux forward instantané le taux
f(t, x) =
lim F (t, x, y − x).
(y−x)→0
Ce modèle est en particulier utilisé dans le modèles Heath, Jarrow & Morton (????).
Enfin, pour gommer l’effet coupon rencontré sur les taux de rendement à maturité,
on considère la courbe des taux de rendement au pair. Une oblgation au pair est une
obligation dont le taux du coupon est identique au taux de rendement actuariel. Le taux
r(n) est alors donné par la relation
r(n)
1 + R(0, 1) + r(n)
r(n) + 100
+ ... +
(1 + R(0, 2))
2
(1 + R(0, n)) = 100,
n
qui s’inverse simplement sous la forme
r(n) =
(
100
∑ n 1
i=1 (1+R(0,i)) i
1 −
)
1
.
(1 + R(0, n)) n
Si R n est un taux avec n composition dans l’année, au bout de T années, en investissant
1, au bout de T années on aura
(
1 + R ) nT
n
,
n
et quand n → ∞, on obtient un taux exprimé en “composition continue”, et
(
lim 1 + R ) nT
n
= exp (ρT ) .
n→∞ n
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance