Méthodes numériques en finance

8 APPROCHE PAR LES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES 81
Sous cette forme ces options sont un cas particulier des options vue comme un traded account
(Shreve & Vecer (2000)). De manière générale, étant donnée une statégie (q t ) t∈[0,T ] , que l’on
supposera bornée q t ∈ [α, β], on considère
dX q t = q tdS t + µ(X q t − q tS t )dt, avec X q 0 = X 0.
X 0 est vu comme une richesse initiale, et µ un taux sans risque (µ = r pour une stratégie autofinançante).
Si l’on s’intéresse à une option européenne de payoff (X q T ) +, on peut chercher la
stratégie optimale, au sens où l’on souhaite maximiser le prix de toutes les options,
V (t, S t , X t ) = e −r[T −t]E Q(X q T |F t) , pour tout t ∈ [0, T ].
Sous cette forme, il s’agit d’un problème de contrôle optimal stochastique. L’équation
d’Hamilton-Jacobi-Bellman permet alors de trouver l’équation aux dérivées partielles satisfaite
par le prix. Si on pose Z q t = Xq t /S t, alors V (t, S t , X t ) = S t u(t, Z t ), où u vérifie
∂u
∂t + (r − µ)(q t − z) ∂u
∂z + 1 2 (q t − z) 2 σ 2 ∂2 u
∂z 2 = 0,
avec la condition de bord u(T, z) = z + .
En appliquant ce résultat (certes, bien au delà du programme que l’on s’était fixé), on peut
montrer que dans le cas du call asiatique, l’équation au dérivée partielle est
∂u
∂t + r(q t − z) ∂u
∂z + 1 2 (q t − z) 2 ∂2 u
∂z 2 = 0
avec la condition de bord u(T, z) = z + . La fonction q t dépend alors de ma forme du payoff (strike
flottant ou pas).
8.9 Options lookback, sur maximum
On suppose ici que le payoff à maturité T s’écrit max{M T − S T , 0} où M t = max{S u , u ∈ [0, t]}.
L’équation aux dérivées partielles est la même que pour un call européen usuel, C =
g(t, S T , M T ), à savoir
∂g ∂g
+ rx
∂t ∂x + 1 2 σ2 x 2 ∂2 g
− rg = 0,
∂x2 pour 0 ≤ x ≤ M, avec une condition de bord de la forme g(T, x, M) = max{M − x, 0}, mais
aussi des conditions en espace de la forme
g(t, 0, M) = e −r(T −t) M et ∂g
∂M
= 0 pour x = M.
L’idée est de chercher une solution de la forme g(t, x, M) = M α h(t, x/M). Notons z = x/M,
les dérivées partielles qui interviennent dans l’équation s’écrivent alors
∂g
∂t = M α ∂h
∂t , ∂g α−1 ∂h
= M
∂x ∂z et ∂2 g
∂x 2 = M α−2 ∂2 h
∂z 2 .
En substituant dans l’équation aux dérivées partielles en g on obtient l’équation suivante en h,
qui peut se simplifier sous la forme
M α ∂h
∂t + 1 2 σ2 S 2 M α−2 ∂2 h α−1 ∂h
+ rSM
∂z2 ∂z − rM α h = 0,
∂h
∂t + 1 2 σ2 z 2 ∂2 h ∂h
+ rz − rh = 0,
∂z2 ∂z
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance