Méthodes numériques en finance

8 APPROCHE PAR LES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES 79
En substituant à ds i µ i S i tdt + σ i S i tdW i t , on en déduit
df = σ 1 St
1 ∂f(St 1 , St 2 )
dWt 1 + σ 2 S 2 ∂f(St 1 , St 2 )
t
∂x
∂y
+ µ 1 St
1 ∂f(St 1 , St 2 )
dt + µ 2 S 2 ∂f(St 1 , St 2 )
t
dt
∂x
∂y
dW 2 t
+ 1 2 σ2 1(S 1 t ) 2 ∂2 f(S 1 t , S 2 t )
∂x 2 (dW 1 t ) 2 + 1 2 σ2 2(S 2 t ) 2 ∂2 f(S 1 t , S 2 t )
∂y 2 (dW 2 t ) 2
+ σ 1 σ 2 S 1 t S 2 t
∂ 2 f(St 1 , St 2 )
dWt 1 dWt 2 + O((dt) 3/2 ).
∂x∂y
Lorsque dt → 0 on passe des différences finies aux dérivées partielles.
8.7 Equation et conditions de bord
Rappelons que d’après la formule de Feynman-Kac il est équivalent de considérer
• une équation aux dérivées partielles de la forme
∂u(t, x)
∂t
∂u(t, x)
+ µ(t, x) + 1 ∂x 2 σ(t, x)2 ∂2 u(t, x)
∂x 2 = 0,
et une condition terminale de la forme u(T, x) = h(x) pour tout x,
• voire u comme une esérance conditionelle,
u(t, x) = E(h(X T )|X t = x),
où (X t ) t∈[0,T ] est un processus d’Ito, dont la diffusion est donnée par
dX t = µ(t, X t )dt + σ(t, X t )dW t ,
dont la condition inital à la date t est X t = x.
Schématiquement
équation aux dérivées partielles ↔ équation de diffusion,
condition de bord ↔ forme du payoff.
8.8 Options asiatiques, avec moyenne arithmétique
Considérons un call européen, dont le payoff à la maturité T compare non pas S T à K, mais la
moyenne arithmétique sur la période [0, T ] à K, i.e.
{ ∫ 1 T
}
max S t dt − K, 0 .
T
Notons alors I t =
∫ t
d’Ito sur ce processus vectoriel. Notons que
⎛ ⎞ ⎛
dt
dZ t = ⎝ dS t
⎠ = ⎝
dI t
0
0
S u du. L’idée est alors de poser Z t = (t, S t , I t ) ′ et de faire du calcul
1
µS t
S t
⎞
} {{ }
α(t)
⎛
⎠dt + ⎝
0
σS t
0
⎞
} {{ }
β(t)
⎠dW t .
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance