Méthodes numériques en finance

10 RÉSOLUTION DES EDP ET DIFFÉRENCES FINIES 99
Schéma implicite
Schéma explicite
localisation (x)
2 4 6 8 10
localisation (x)
2 4 6 8 10
2 4 6 8 10
temps (t)
2 4 6 8 10
temps (t)
Figure 49: Schémas implicite et explicite.
Proposition 59. Un schéma linéaire consistant est convergent si et seulement si il est stable.
10.4 Stabilité numérique de la discrétisation
Considérons le cas particulier de la dérivée seconde. Résoudre Du(x) = f(x) où Lu = u ′′ se
traduit numériquement, par
⎛
⎞
2 −1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−1 2 −1 (0)
u(x 1 )
f(x 1 )
1
. −1 2 ..
u(x 2 )
f(x 2 )
h 2 . .. . .. . ..
u(x 3 )
=
f(x 3 )
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜
.
⎝ (0) ..
⎟ ⎝ u(x
2 −1 ⎠ n−1 ) ⎠ ⎝ f(x n−1 ) ⎠
u(x n ) f(x n )
−1 2
ou encore D h u = f. Les valeurs propres de L h sont alors les λ k = 2(1 − cos(πk/(n + 1)))/h 2 et
les vecteurs propres associés
V k = (sin(πk/(n + 1)), sin(2πk/(n + 1)), ..., sin(nπk/(n + 1))) t .
En effet, en notant V 0 = V n+1 = 0, notons que
h −2 [−V k−1 + 2V k − V k+1 ] = λ k V k .
Cette relation de récurence implique que les vecteurs propres s’écrivent
V k = Ar k 1 + Br k 2, k = 0, ..., n,
où r 1 et r 2 sont deux solutions (distinctes) de r 2 + (λh 2 − 2)r + 1 = 0, et où A et B sont
déterminées par les conditions en bords.
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance