Méthodes numériques en finance

3 UN PEU DE MODÉLISATION ET DE MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 27
3.14 Le Vega
Le Vega étant la sensibilité du prix d’un call à une petite variation de la volatilité du
sous-jacent, on en déduit
V = ∂C
∂σ = S ∂Φ (d 1)
− K exp (−rT ) ∂Φ (d 2)
∂σ
∂σ
= S ∂Φ (d 1) ∂d 1
∂d 1 ∂σ − K exp (−rT ) ∂Φ (d 2) ∂d 2
∂d 2 ∂σ
= Sφ (d 1 ) √ T > 0.
Aussi, pour un call et un put, le Vega est identique,
V(C) = V(P ) = Sφ (d 1 ) √ T > 0.
Vega d’un call (Black & Scholes)
Vega d’un call (Black & Scholes)
5 10 15 20 25 30 35
5 10 15 20 25 30 35
60 80 100 120 140
Cours de l’action
60 80 100 120 140
Cours de l’action
Figure 12: Vega dans le modèle de Black & Scholes (influence de r et de σ).
3.15 Le Theta
Le Theta étant la sensibilité du prix d’un call à une petite variation de la maturité de
l’option , on en déduit
Θ = − ∂C
∂T = −Sφ (d 1) σ
2 √ − rK exp (−rT ) Φ (d 2 ) .
T
Aussi, pour un call et un put, le Theta vaut respectivement
Θ(C) = − Sφ (d 1) σ
2 √ T
− rK exp (−rT ) Φ (d 2 ) < 0,
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance