Méthodes numériques en finance

14 OPTIONS AMÉRICAINES 215
Polynomes de Chebychev
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Figure 150: Polynômes de Chebychev, T n (x) = cos(n(x)).
On utilisera ici comme base les polynômes de Chebetchev.
polynômes de Chebychev sont définis par
Rappelons que les
T n (x) = cos(n(x)), sur [−1, 1], pour n ∈ N.
Remarque 114. Il n’est pas a priori évident que ces fonction soient des polynômes, et
pourtant, ils vérfient les formules de récurrence suivantes,
et pour n ≥ 1,
T 0 (x) = 1 et T 1 (x) = x
T n+1 (x) = 2xT n (x) − T n−1 (x).
Ces polynômes sont représentés sur la Figure suivante,
Pour résoudre numériquement notre problème, on notera T la matrice n × n de
Chebychev-Vandermonde,
T (t 1 , .. tn ) =
⎛
⎜
⎝
T 0 (t 1 ) T 1 (t 1 ) ... T n−1 (t 1 )
T 0 (t 2 ) T 1 (t 2 ) ... T n−1 (t 2 )
... ...) ... ...
T 0 (t n ) T 1 (t n ) ... T n−1 (t n )
Décomposer une fonction f(·) dans la base des polynômes de Chebychev revient à
chercher ω = (ω 1 , ω 2 , ...) tels que
f(x) =
∞∑ ∑n−1
ω i T i (x) ∼ ω i T i (x).
i=0
Aussi, étant donnée une grille 0 < x 1 < x 2 < ... < x n < 1, cela revient à résoudre
numériquement T (x 1 , .. xn )ω = f.
i=0
⎞
⎟
⎠
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance