Méthodes numériques en finance

14 OPTIONS AMÉRICAINES 206
Prix d’un call canadien
Prix d’un put canadien
6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5
4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0
0 2000 4000 6000 8000 10000
nombre de simulations
0 2000 4000 6000 8000 10000
nombre de simulations
Figure 142: Call et put canadiens.
Des méthodes de simulations peuvent être utilisée pour calculer ce prix.
Dans ce modèle, la date à laquelle le détenteur de l’option se demande s’il peut exercer
(ou non) est aléatoire. Il attend donc une durée τ où E(τ) = T . Afin d’améliorer le
modèle, on peut supposer qu’il attend un temps τ 1 avant de se donner le droit d’exercer,
et s’il n’exerce pas, il attend un temps τ 2 pour voir à nouveau s’il exerce ou non. On
peut supposer que τ 1 et τ 2 sont deux variables exponentielles, indépendantes et équidistribuées.
La contrainte précédante impose alors que E(τ 1 + τ 2 ) = T , on a donc deux lois
indépendantes, exponentielles, de moyenne T/2.
De manière générale, si on suppose que les n dates possibles d’exercices sont données
par un processus de Poisson, alors E(τ i ) = T/n. L’idée est alors de faire tendre n vers
l’infini, ce qui fait tendre cette option vers l’option américaine de maturité T .
Cette somme de lois exponentielles étant une loi Gamma, on peut alors légitimement
être tenté de valoriser une option canadienne dont la date d’exercice suit une loi Gamma,
de moyenne T .
Une autre possibilité est de prendre non pas une loi exponentielle pour la durée avant
maturité, mais une loi gamma. On notera alors P n le prix d’un put obtenu en prenant la
somme de n lois exponentielles. En considérant l’extrapolation de Richardson (Marchuk
& Shaidurov (1983)), on pose
P 1,n =
n∑
i=1
(−1) n−i i n
i!(n − i)! P i.
Broadie & Detemple (1996) propose d’utiliser cette méthode pour approcher le
prix d’une option américaine.
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance