Méthodes numériques en finance

9 PETITS RAPPELS D’ANALYSE NUMÉRIQUE 93
Exemple 51. Pour la méthode du trapèze, pour un intervalle [−1, +1],
ε(f) =
∫ +1
−1
f(x)dx − [f(−1) + f(1)], et le noyau est alors
K 1 (t) =
∫ +1
−1
donc ∫ K 1 (t)dt = −2/3, et alors
(x − t) + dx − [(−1 − t) + + (1 − t) + ] = − 1 2 (1 − t2 ) ≤ 0,
ε(f) = − 2 3 f ′′ (ζ) pour ζ ∈] − 1, +1[.
Exemple 52. Pour la méthode de Simpson, pour un intervalle [−1, +1],
ε(f) =
∫ +1
−1
f(x)dx − 1 [f(−1) + 4f(0) + f(1)], et le noyau est alors
6
K 3 (t) = ε((x − t) 3 +) =
∫ 1
donc ∫ K 1 (t)dt = −1/15, et alors
t
( 2
(x − t) 3 dx − 2
3 (−t)3 + + 1 )
6 (1 − t)3
ε(f) = − 1
15 × 3! f (4) (ζ) pour ζ ∈] − 1, +1[.
• Application: le calcul d’une intégrale multiple
= − (1 + t)3 (1 − 3t)
,
12
Le calcul d’intégrale multiple se fait aisément dans un seul cas: celui où l’on intègre sur un
hypercube de R d , c’est à dire pour simplifier [0, 1] d , comme le note Stroud (1971) (notion de
“product formula”). De manière générale,
∫ 1
0
. . .
∫ 1
0
h(u 1 , . . . , u d )du 1 . . . du d ∼
n∑
ω i f(u i,1 , . . . , u i,d ),
i=1
où les u i = (u i,1 , . . . , u i,d ) sont des points du cube unité. Les calculs sont généralement plus
complexes (même si l’idée de la méthode ∫est toujours la même, approcher une intégrale par une
somme) pour des intégrales de la forme h(u)du, où V est un volume ou une surface de R d ,
V
éventuellement difficile à paramétrer. Parmi les méthodes utilisées, on peut essayer de découper
V en petits hypercube, mais aussi essayer de décomposer h dans une base de polynômes. Un
tiers de Stroud (1971) est ainsi composé de tables et de formules permettant de décomposer
des régions V simples (ellipsoîdes, simplexes, hexagones, tores, polygones usuels), ainsi que des
formules d’approximation
9.5 Solutions d’équations différentielles
Soit f : [0, ∞[→ R une fonction continûment dérivable telle que
f ′ (x) = g(f(x), x) pour x > 0 avec la condition f(0) = f 0 .
On parle alors de problème de Cauchy.
Notons que si f est Lipschitzienne, alors ce problème admet une solution unique sur R.
La résolution numérique ne se fait pas sur R, mais en un nombre fini de points. Pour cela,
on se donne
0 = x 0 < x 1 < x 2 < .... < x n < x n+1 < ..
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance