Méthodes numériques en finance

11 MÉTHODES DE SIMULATIONS DANS LE MODÈLE DE BLACK & SCHOLES (1973) 158
Appels de fonctions random indépendants
Densité empirique de {X1,...,Xn}
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
−2 0 2 4
Figure 103: Simulation de variables indépendantes, par copules.
Pour générer une copule Archimédienne, C(u, v) = φ −1 (φ(u) + φ(v)), où φ est décroissante
convexe, s’annulant en 1, Genest & MacKay (1986), Genest (1987) et Lee
(1993) on proposé différentes algorithme.
Notons que lors de simulations d’un vecteur indépendant en dimension 2, plusieurs
techniques peuvent être utilisées.
• faire des appels indépendants de fonctions randoms, U et V , puis poser X = F −1
X (U)
et Y = F −1
X
(V ),
• faire des appels indépendants de fonctions randoms, et prendre les rangs: X =
−1
(rang(U)/(n + 1)) et Y = F (rang(U)/(n + 1),
F −1
X
X
La figure suivante montre la réalisation de 100 simulations de paires, et l’impact sur
la densité de X, lorsque F X = Φ.
• la méthode Latin hypercube,
Il s’agit d’une méthode intermédiaire entre les deux méthodes précédantes. L’idée est
de paver le carré unité [0, 1] × [0, 1] en petits carrés, puis de tirer indépendement des
variables indépendantes dans chaque carré.
Dans le cas des 100 simulations, on découpe le carré unité en 5 2 = 25 petits carrés de
longueur 1/5, et dans chaque carré, on tire au hasard 4 points.
11.11 Simulation de processus corrélés
Le processus de base étant le mouvement brownien, la première étape est donc de savoir
simuler un mouvement brownien.
La corrélation ρ est, théoriquement, la corrélation instantannée entre dWt 1 et dWt 2 , au
sens où corr(dWt 1 , dWt 2 ) = ρ, ou plus proprement, d < W 1 , W 2 > t = ρdt. L’interprétation
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance