Méthodes numériques en finance

8 APPROCHE PAR LES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES 77
qui correspond à l’équation de la chaleur. Rappelons que la forme générale peut s’écrire sous la
forme
∫
)
1 (z − x)2
v(z, t) = √ exp
(− v 0 (x)dx,
4πt 4t
où v 0 est la condition de bord en temps, i.e.
{ ( ) (c + 1)x
v 0 (x) = max exp
− exp
2
( (c − 1)x
2
) }
, 0 .
8.5 Générateur de la diffusion et formule de Feynman-Kac
En reprenant les notations de la section précédante, le calcul de V t est équivalant au calcul de la
fonction H(t, x).
Formellement, on introduit la notion de générateur infinitésimal de la diffusion.
Proposition 37. Soit (S t ) t∈R + solution de dS t = b(S t )dt + σ(S t )dW t . Soit f : R → R deux fois
continûment dérivable, à dérivées bornées, et A l’opérateur qui à f associe
Alors le processus (M t ) t∈R +
Proof. Utilisation de la formule d’Ito.
(Af)(x) = σ2 (x) d 2 f(x)
2 dx 2 + b(x) df(x)
dx .
défini par M t = f(X t ) −
∫ t
0
(Af)(X s )ds est une F t -martingale.
Dans le cas du modèle de Black & Scholes (1973), dS t = S t (rdt + σdW t ), et le générateur
infinitésimal associé est
(Af)(x) = σ2
2 x2 d2 f(x)
dx 2 + rx df(x)
dx .
On posera plus généralement, pour toute fonction g : [0, T ] × R + → R + , (Ag)(t, x) = (Ag)(x).
Un calcul direct permet de montrer que le prix du call H(t, x) = xΦ(d 1 (x)) − Ke −r(T −t) Φ(d 2 (x))
est alors solution de l’équation aux dérivées partielles
∂g(t, x)
∂t
+ (Ag)(t, x) − rg(t, x) = 0 pour tout (t, x) ∈ [0, T ] × R + , (9)
avec la condition de bord g(T, x) = (x − K) + pour tout x ∈ R + .
La valorisation d’un call européen est alors équivalent à la résolution de l’équation aux
dérivées partielles
∂g(t, x)
∂t
+ σ2
2 x2 ∂2 g(x)
∂x 2 + rx ∂g(x) − rg(t, x) = 0, (10)
∂x
pour tout (t, x) ∈ [0, T ] × R + , avec la condition de bord g(T, x) = (x − K) + pour tout x ∈ R + .
Formellement, ce lien entre le prix d’une option à partir d’une équation différentielle stochastique
et une équation aux dérivées partielles se fait à l’aide du Théorème de Fenyman-Kac.
Théorème 38. Considérons une équation aux dérivées partielles de la forme
∂u(t, x)
∂t
∂u(t, x)
+ µ(t, x) + 1 ∂x 2 σ(t, x)2 ∂2 u(t, x)
∂x 2 = 0,
dont on se donne la condition terminale de la forme u(T, x) = h(x) pour tout x. Alors, sous des
conditions de type Lipschitz pour µ et σ et de croissance polynomiale ( Karatzas & Shreve
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