Méthodes numériques en finance

12 AMÉLIORER LA PRÉCISION DES ESTIMATIONS 169
Valeur d’un call européen, Monte Carlo et variables antithétiques
Valeur du call européen
9.0 9.5 10.0 10.5 11.0 11.5 12.0
0 2000 4000 6000 8000 10000
Nombre de simulations
Figure 115: Méthode d’importance sampling: cas d’école avec le calcul de P(X > 2) où
X suit une loi de Cauchy.
où V 1 , ..., V n sont indépendantes, de loi Uni(0, 1/2). La même intégration par partie donne
]
]
V ar
[̂θ′ IS = 0.00095/n ≤ V ar
[̂θMC /1000.
Aussi, la même précision est obtenue en utilisant 1000 fois moins de simulations.
Figure 115. montre ainsi l’évolution de l’estimation en fonction de n.
La
La méthode d’importance sampling peut être particulièrement intéressante lorsqu’elle
permet de passer d’une fonction non-bornée, à une fonction bornée. On cherche ici à
estimer θ = displaystyle ∫ g(X)dF (x). Supposons que g ne soit pas bornée. L’idée de
l’échantillonage par importance est de réécrire
∫
∫
θ = g(x)f(x)dx = g(x) f(x) ∫
f ∗ (x) f ∗ (x)dx = g ∗ (x)f ∗ (x)dx
ou encore θ = E F (g(X)) = E F a st(g ∗ (X ∗ )), où X et X ∗ ont pour loi F et F ∗ respectivement.
L’estimation dans le cas où g est non-bornée devrait être meilleure si on peut trouver
une loi f ∗ telle que g ∗ est alors bornée.
Exemple 92. Supposons que l’on cherche à calculer θ =
1. La première idée peut être de voir
∫ 1
θ = E(g(U)) où g(z) = z α−1 e −z et U ∼ U([0, 1]).
0
z α−1 e −z dz, pour 1/2 < α ≤
Notons qu’alors
V ar(g(U)) =
∫ 1
0
z 2(α−1) e −2z dz − θ 2 .
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance