Méthodes numériques en finance

11 MÉTHODES DE SIMULATIONS DANS LE MODÈLE DE BLACK & SCHOLES (1973) 141
où G est la fonction de répartition de R. D’où la densité de T ,
( )
t ↦→ t exp − t2 I ]0,+∞[ (t) .
2
Déterminons pour conclure la densité du couples (U, V ), obtenu par le changement de
variable
{ ]0, +∞[ × ]0, 2π[ → R
ψ :
2 \ (]0, +∞[ × {0})
(t, θ) ↦→ (u, v) = (t cos θ, t sin θ)
En notant que ψ restreint à ]0, 1[ × ]0, 2π[ coïncide avec φ −1 , on en déduit que
J ψ −1 =
1
J φ −1 (t (u, v) , θ (u, v)) = 1 t = 1
√
u2 + v , 2
d’où finalement la densité du couple (U, V ),
)
1 1 √
f (u, v) = √ u2 + v
u2 + v 2 2π
2 exp
(− u2 + v 2
2
) )
1
= √ exp
(− u2 1
√ exp
(− v2
,
2π 2 2π 2
c’est-à-dire que les variables U et V sont indépendantes, de loi normale centrée réduite.
L’utilisation de cette propriété permet d’obtenir l’algorithme polaire, permettant de
simuler un vecteur gaussien centré, réduit et indépendant, en notant que
√
2 log R2
Z = − = T { U = T cos Θ = Z · X
R 2 R et V = T sin Θ = Z · Y
La première étape permettant de simuler la loi uniforme sur le disque unité. Toutefois,
la méthode la plus utilisée pour simuler une loi gaussienne n’est pas celle-ci, et repose sur
une programmation légèrement différente du résultat précédant. En effet, il est possible
de simuler non pas le couple (X, Y ), mais le couple (T, Θ), qui sont deux variables
indépendantes,
A partir de la simulation d’un vecteur de variables aléatoires indépendantes de loi
N or (0, 1), il est possible de se ramener à des lois gaussiennes N or (µ, σ 2 ), en posant
Y = σX + µ où µ ∈ R et σ > 0, et X ∼ N or (0, 1) . Comme on peut le noter sur les
graphiques de la Figure ?? , µ est un paramètre de localisation, et σ est un paramètre
d’épaisseur des queues.
Dans le cas du modèle de Black & Scholes (1973), il s’agit de simuler la solution
de l’équation dS t = rS t dt + σS t dW t , avec X 0 = x. On sait qu’à la date t,
)
S t = S 0 exp
(rt − σ2
2 t + σW t , où W t ∼ N (0, t).
On simule alors la trajectoire du mouvement brownien par √ ∆t ∑ n
i=1 ε i, et on considère
( [ ]
S n = S 0 exp r − σ2
n∆t + √ )
n∑
∆t ε i , où W t ∼ N (0, t).
2
i=1
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance