Méthodes numériques en finance

CONTENTS 5
12 Améliorer la précision des estimations 164
12.1 Méthodes de réduction de variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
12.2 Les méthodes de stratification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
12.3 Les variables antithétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
12.4 Echantillonage par importance, ou importance sampling . . . . . . . . . . . 167
12.5 Utilisation de variables de contrôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
12.6 Comparaison des différents méthodes de réduction de variance . . . . . . . 173
12.7 Méthodes de quasi-Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
12.8 Complément sur la simulation de trajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
12.9 Options asiatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
12.10Options sur maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
12.11Les options à barrière(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
12.12Calcul de grecques par Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
12.13Calcul des grecques dans le cas d’un call digital . . . . . . . . . . . . . . . 186
12.14Le problème de la dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
12.15Décomposition de trajectoires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
13 Quelques mots sur d’autres méthodes 191
13.1 La Fast Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
14 Options américaines 191
14.1 Introduction pour des options bermudiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
14.2 L’enveloppe de Snell du payoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
14.3 La notion de temps d’arrêt optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
14.4 Valorisation d’options bermudiennes et arbres binomiaux . . . . . . . . . . 194
14.5 Valeur d’un call américain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
14.6 Méthode d’approximation de Bjerskund et Stensland . . . . . . . . . . . . 195
14.7 Méthode d’approximation de Barone-Adesi et Whaley (call) . . . . . . . . 196
14.8 Méthode d’approximation de Barone, Adesi & Whaley (put) . . . . . 197
14.9 Utilisation des arbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
14.10Représentation de la région d’exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
14.11Arbre de Leisen (1998) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
14.12Approche par équations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . 199
14.13Approche par équations aux dérivées partielles: frontière libre . . . . . . . 200
14.14Approche par équations aux dérivées partielles: inégalité variationnelle . . 201
14.15Une solution analytique dans le cas du put américain . . . . . . . . . . . . 204
14.16Approximation de la forme de la frontière d’exercice . . . . . . . . . . . . . 205
14.17Utilisation des méthodes de simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
14.18Algorithme de Tilley (1993) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
14.19Algorithme de Grant, Vora & Weeks (1996) . . . . . . . . . . . . . . . 211
14.20Algorithme de Welch & Chen (1991) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
14.21Algorithme de Barraquand & Martineau (1995) . . . . . . . . . . . . 211
14.22Complément: simulation de chaînes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . 212
14.23Simulations et moindres carrés pour les options américaines . . . . . . . . . 213
14.24Les options perpétuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
15 Elements bibliographiques 217
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance