Méthodes numériques en finance

12 AMÉLIORER LA PRÉCISION DES ESTIMATIONS 176
L’inégalité de Koksma-Hlawka permet alors d’étudier des convergence de type (30),
Lemme 99. Pour toute fonction h, alors
1
n∑
∫
h (u i ) − h (u) du
∣n
[0,1] d ∣ ≤ V (h) D n (u) ,
i=1
où V (h) est une constante ne dépendant que de la fonction h (correspondant à la notion
de variation totale de h au sens de Hardy-Krause).
On a alors le corollaire suivant
Corollaire 100. La suite {u 1 , u 2 , . . .} est équirépartie sur [0, 1] d
lim n→∞ D n (u) = 0.
si, et seulement si,
Pour des fonctions dont la discrépance est équivalente à log α n/n1, on a alors une
amélioration de la vitesse de convergence. On parle dans ce cas de suites à discrépance
faible.
Exemple 101. Parmi les exemples de suites à discrépance faible, on notera la suite
u i = i/n, pour laquelle
1
n∑
( ∫ i
h → h (u) du.
n n)
[0,1]
On retrouve ici la construction de l’intégrale par Rieman.
i=1
Exemple 102. La suite de Van der Corput est définie en dimension 1 de la façon suivante
: soit n un entier positif, et α 0 , α 1 ,... α r sa décomposition p-addique, où p est un entier
strictement supérieur à 1, au sens où
n = α 0 + α 1 p + ... + α r p r où 0 ≤ α i < p pour i = 0, 1, ..., r.
La suite de Van der Corput, en base p est alors définie par
u n = α 0
p + ... + α r
p r+1 .
Halton a alors généralisé cette construction en dimension d. Le graphique de la Figure 120
représente la simulation de 1500 couples (U i , V i ), indépendants et uniformément distribués
sur [0, 1]×[0, 1]. La Figure ?? montre l’estimation de E[UV ] où U et V sont indépendantes
et uniformément distribuées sur [0, 1].
Une autre méthode permet de simuler des échantillons en dimension d: l’échantillonage
uniforme par variables antithétiques.
En dimension d, on peut simuler n = 2 × k d points, k ∈ ×:
• on partitionne [0, 1] d en des cubes de taille 1/k,
• dans chaque cube, on tire un point uniformément, puis on prend sa version antithétique.
Malgré le fait que ces algorithmes couvrent mieux l’espace, ils ne sont pas nécessairement
tous optimaux pour résoudre des problèmes simples convexes.
On cherche ici à calculer ∫ [0,1] 3 √
x
2
1 + x 2 2 + x 2 3dx par différentes méthodes,
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance