Méthodes numériques en finance

11 MÉTHODES DE SIMULATIONS DANS LE MODÈLE DE BLACK & SCHOLES (1973) 132
Calcul d’aire approche par simulations (n=25)
Calcul d’aire approche par simulations (n=400)
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
Figure 72: Calcul d’aires, méthode par simulations, n = 25, 400.
• La méthode de Monte Carlo pour calculer des intégrales
Pour reprendre l’exemple du calcul du volume, une fois fixée l’hyperbue [a, b] qui
englobe le volume, au lieu de prendre les points sur une grille uniforme, on peut en tirer
n au hasard, uniformément et indépendamment, dans l’hypercube.
Une approximation du volume sera alors
( d∏
)
V (V) ∼ (b i − a i ) × 1 n∑
n × 1(X i ∈ V) = V n (V),
i=1
i=1
c’est à dire que l’on compte là aussi combien de points appartiennent au volume.
Notons que la le fait que X i appartienne au volume V suit une loi binomiale, de
probabilité p,
V (V)
p = P(X ∈ V) =
.
d∏
(b i − a i )
On en déduit alors que E(V n (V)) = V (V), et que, par indépendance entre les tirages,
⎛
⎞
V ar(V n (V)) = 1 n ×
i=1
V (V)
×
1 −
d∏ ⎜
(b i − a i )
⎝
i=1
V (V)
d∏ ⎟
(b i − a i )
⎠
i=1
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance