Méthodes numériques en finance

14 OPTIONS AMÉRICAINES 202
discrétisation, on peut écrire simplement le problème sous forme matricielle,
⎛
⎞
⎧
⎨
⎜
⎟
⎩
Au ≥ f
u ≤ g
(Au − f) ′ (u − g) = 0
, où A =
⎜
⎝
−2 1 ... ... 0
1 −2 ... ... 0
... ... ... ... ...
0 0 ... −2 1
0 0 ... 1 −2
Une fois posé le problème numérique discrétisé, reste à le résoudre. On peut noter que
ce programme s’écrit de manière équivalente
min{Au − f, g − u} = 0
où le minimum est pris composante par composante. Notons que la matrice A peut s’écrire
A = L + U − D, où L est la matrice contenant des 1 sur la permière surdiagonale, U sur
la première sous diagonale, et D des 2 sur la diagonale. Un peut d’écriture matricielles
permet de réécrire cette équation sous la forme
min{u − D −1 (Lu + Uu + f), g − u} = 0,
ou encore u = max{D −1 (Lu + Uu + f), g}.
Ce problème là peut alors se résoudre par des algorithmes itératifs, en particulier
l’alogrihtme de SOR projeté:
Pour i = 1, ..., n, on pose
{
z k+1
i = 1 (
−Lu k+1 − Uu k + f ) 2
i
u k+1
i = max{u k i + ω[z k+1
i − u k i ], g i }
La convergence de cet algorithme a été montrée par Cryer (1971) dans un cadre
encore plus général.
• Résolution du problème (x, t): méthode SOR projetée.
Cette méthode est exposée en détails dans Lapeyre, Sulem & Talay (2002).
⎟
⎠
Résolution - méthode SOR projetée
• Résolution du problème (x, t): l’algorithme de Cryer.
• La méthode de pénalisation.
En fait, pour montrer l’existence et l’unicité de la solution au système (14.14), on
utilise une méthode de pénalisation pour transformer cette équation en une équation
non-linéaire.
L’idée est d’utiliser une méthode discrétisation de pénalisation, puis de résoudre les
équations nonlinéaires obtenues par une itération de type Newton-Raphson.
On écrit alors
⎧
∂P
⎪⎨
∂t + rS ∂P
t + 1 ∂S t 2 σ2 St
2 ∂ 2 P
− rP ≤ 0
⎪⎩
( ∂P
∂t + rS ∂P
t + 1 ∂S t 2 σ2 St
2
∂ 2 P
∂S 2 t
− rP
∂S 2 t
P
)
(S t , t) − H(S t , t) ≥ 0
(P (S t , t) − H(S t , t))
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance