Méthodes numériques en finance

8 APPROCHE PAR LES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES 74
8 Approche par les équations aux dérivées partielles
8.1 Petit rappel sur la formule d’Ito
Rappelons que le processus de diffusion suivit par le sous-jacent est dS t = µS t dt + σS t dW t , et
qu’il existe un actif sans risque, de rendement r, dont la dynamique du prix est donnée par un
processus de la forme suivante, dS 0 t = rS 0 t dt.
Le lemme d’Ito nous dit que, plus générallement, si
dS t = a(S t , t)dt + b(S t , t)dW t ,
alors si X t = g(S t )
( ∂g(x, t) ∂g(x, t)
dX t =
a + + 1 ∂ 2 )
g(x, t)
∂x ∂t 2 ∂x 2 b 2 dt + ∂g
∂x bdW t
= α(S t , t)dt + β(S t , t)dW t ,
Aussie, (X t ) t∈R suit également un processus d’Ito, dont le drift est α et dont la variance est β.
Dans le cas particulier du modèle de Black & Scholes, pour tout transformation g dérivable
( ∂g(x, t) ∂g(x, t)
dX t = µS t + + 1 ∂ 2 )
g(x, t)
∂x
∂t 2 ∂x 2 σ 2 St
2 dt + ∂g
∂x σS tdW t .
8.2 Une première approche, à partir des arbres binomiaux
Nous avions noté qu’il était possible de construire un arbre binomial afin de valoriser l’option,
et que pour le prix du sous-jacent était multiplié, entre chaque date, soit par u, soit par d. Un
développement limité permet d’obtenir
u ∼ 1 + σ √ δt et d ∼ 1 − σ √ δt,
où δt est le temps entre les deux dates.
Si on note C la valeur d’un call européen, et C + et C − le prix de l’option à la date t + δt,
alors
C + t+δt = C(uS t, t + δt) ∼ C(S t , t) + σ √ δtS t
∂C(S t , t)
∂S t
et par un raisonnement similaire,
C − t+δt = C(uS t, t + δt) ∼ C(S t , t) − σ √ δtS t
∂C(S t , t)
∂S t
On notera alors que
En réarangeant, on obtient
C(S t , t) = C+ t+δt − C− t+δt
u − d
= 2σ√ δtS t
2σ √ δt
∂C(S t , t)
∂S
+ uC− t+δt − dC+ t+δt
(1 + rδt)(u − d)
+ 1 2 σ2 δtS 2 t
+ 1 2 σ2 δtS 2 t
∂ 2 C(S t , t)
∂S 2 t
∂ 2 C(S t , t)
∂S 2 t
+ (1 + σ√ δt)C − − (1 − σ √ δt)C +
(1 + rδt)2σ √ .
δt
(1 + rδt)2σ √ δtC(S t , t) = 2σ √ δtC(S t , t)(1 + rδt) ∂C(S t, t)
∂S
qui peut, au final, se simplifier sous la forme
∂C(S t , t)
∂t
+ δt ∂C(S t, t)
,
∂t
+ δt ∂C(S t, t)
.
∂t
(
− 2σ √ ∂C(S t , t)
δtS t
∂S
+ 2σ √ (
δt C(S t , t) + 1 ∂ 2 C(S t , t)
2 δtS2 t
∂S 2 + δt ∂C(S t, t)
∂t
+ 1 2 σ2 S 2 ∂2 C(S t , t) ∂C(S t , t)
∂S 2 + rS t − rC(S t , t) = 0.
∂S
)
,
)
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance