Méthodes numériques en finance

10 RÉSOLUTION DES EDP ET DIFFÉRENCES FINIES 104
• le θ-schéma est précis à l’ordre 2 en espace, et 1 en temps, pour tout θ ∈ [0, 1],
• le schéma de Crank-Nicolson est précis à l’ordre 2 en espace, et 2 en temps (θ = 1/2),
• le schéma saute-mouton est précis à l’ordre 2 en espace, et 2 en temps.
10.7 La notion de stabilité
On note ‖ · ‖ h la norme sur R n−1 définie par
n−1
∑
‖v‖ h = √ h vi 2.
Définition 63. Un schéma numérique à un pas de temps est dite stable s’il existe une constante
C telle que
⎛
⎞
i∑
‖u i ‖ h ≤ C ⎝‖u 0 ‖ h + √ ∆t ‖f k ‖ 2 ⎠
h
,
pour tout n, et quel que soit le second même f k = (f k,1 , ..., f k,n−1 ). Dans le cas d’un schéma à
deux pas de temps, la condition de stabilité s’écrit
⎛
⎞
i∑
‖u i ‖ h ≤ C ⎝‖u 0 ‖ h + ‖u 1 ‖ h + √ ∆t ‖f k ‖ 2 ⎠
h
,
Afin de mieux comprendre cette notion, il peut être plus simple de travailler sous forme
vectorielle. Dans le cas d’un θ-schéma, rappelons que
i=1
k=0
u i+1 = Au i + ∆tb i+1 ,
où b i+1 = (I − λθK) −1 f i , et A = (I − λθK) −1 [I − λ(1 − θ)K], avec
⎡
⎤
2 −1
−1 2 −1 (0)
. −1 2 ..
K =
. .. . .. . ..
⎢
.
⎣ (0) ..
⎥
2 −1 ⎦
−1 2
Proposition 64. Un schéma de la forme u i+1 = Au i + ∆tb i+1 est stable si et seulement si il
existe une constante C telle que
k=0
‖A i ‖ 2 ≤ C pour tout i = 1, ..., I,
où ‖ · ‖ 2 désigne la norme matricielle induite par la norme euclidienne. Dans le cas où A vérifie
AA ′ = A ′ A, alors ‖A‖ 2 correspond au rayon spectral, et une condition suffisante de stabilité est
que le rayon spectral soit majoré par 1.
Proposition 65. Dans le cas d’un θ-schéma, si θ ∈ [1/2, 1] alors le schéma est stable.
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance