Méthodes numériques en finance

8 APPROCHE PAR LES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES 75
8.3 Une seconde approche, “avec mes mains”
La version discrétisée de ces équations est
et, si X t = g(S t , t)
( ∂g(x, t)
∆X t = ∆g = µS t +
∂x
∆S t = µS t δt + σS t ∆W t ,
∂g(x, t)
∂t
+ 1 2
∂ 2 )
g(x, t)
∂x 2 σ 2 St
2 δt + ∂g
∂x σS t∆W t .
Considérons le portefeuille constitué de α = ∂g(X t , t)/∂x actions, en position longue, et
d’une option en position courte. La valeur du portefeuille est
Π = −g + ∂g
∂S S
et donc la variation de la valeur du portefeuille sur un court intervalle de temps δt s’écrit
∆Π = −∆g + ∂g
∂S ∆S.
En utilisant les expressions de ∆g et de ∆S, notons que
(
∆Π = − ∂g
∂t − 1 ∂ 2 )
g
2 ∂S 2 σ2 S 2 δt.
Comme il n’y a plus de terme aléatoire, cela signifie que pendant un instant très court (δt) le
portefeuille est sans risque. Aussi, par absence d’opportunité d’arbitrage,
∆Π = rΠ∆t
où r désigne le taux sans risque. Par substitution
(
− ∂g
∂t − 1 ∂ 2 )
g
2 ∂S 2 σ2 S 2 δt = r
(
g − ∂g
∂S s )
δt
c’est à dire
∂g ∂g
+ rS
∂t ∂x + 1 2 σ2 S 2 ∂2 g
∂x 2 = rg.
8.4 De l’équation de Black & Scholes à l’équation de la chaleur
Proposition 36. Le prix d’une option européen, de payoff h(S T ) à maturité T vaut, à la date
t = 0, g(0, S 0 ) où g est la solution de l’équation aux dérivées partielles
∂g ∂g
+ rS
∂t ∂x + 1 2 σ2 x 2 ∂2 g
= rg, (7)
∂x2 avec les conditions de bords g(T, S T ) = h(S T ). Notons que le portefeuille de réplication est
obtenu à partir de ∂g(0, S 0 )/∂x actif risqué. Réciproquement, si l’équation au dérivées partielle
(7) admet une solution dont la dérivée en x est bornée, le prix de l’option en t = 0 est alors
g(0, S 0 ).
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance