Méthodes numériques en finance

14 OPTIONS AMÉRICAINES 200
Convergence des arbres binomiaux (Leisen et classique)
Convergence des arbres binomiaux (Leisen et classique)
Put américain
2.285 2.290 2.295 2.300 2.305 2.310 2.315
Put américain
2.290 2.295 2.300 2.305 2.310 2.315
50 100 200 500
# steps
50 100 200 500
# steps
Figure 140: Convergence du prix d’un put américain, par arbre classique et par l’arbre
de Leisen.
Aussi, dans un pas de temps dt, on n’a plus l’égalité, mais l’inégalité suivante
E Q (e −rT dP t |F t ) ≤ rP t dt.
Aussi, on peut intuiter que l’on aboutie non plus à une équation aux dérivées partielles,
mais à une inéquation variationnelle
∂P t
∂t + rS ∂P t
t + 1 ∂S t 2 σ2 St
2
avec une égalité dans la zone où S t > S ∗ t .
∂ 2 P t
∂S 2 t
≤ rP t ,
14.13 Approche par équations aux dérivées partielles: frontière
libre
Dans le cas d’un put européen,
• si 0 < S t ≤ S ∗ t ,
on a les conditions de bord suivantes, P t = P (S t , t) = K − S t et ∂P/∂t = −1, et
• si S ∗ t < S t ,
∂P
∂t + rS ∂P
t + 1 ∂S t 2 σ2 St
2
∂ 2 P
∂S 2 t
− rP < 0.
on a les conditions de bord suivantes, P t = P (S t , t) > K − S t et ∂P/∂t → −1 lorsque
S t → St ∗ , et
∂P
∂t + rS ∂P
t + 1 ∂S t 2 σ2 St
2 ∂ 2 P
− rP = 0.
∂St
2
On parle de frontière libre car la frontière St
∗ est inconnue.
Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance